01-8-解析几何

几何向量

1. 曲线、直线、曲面、平面、空间提都是由点构成的，换句话说就都是点的集合
   1. 3个不共线的点可以确定一个平面
   2. 若一条直线的两个点都在一个平面内，则这条直线在这个平面内
   3. 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且仅有一条过该点的交线
   4. 若直线L1平行于L2，L2平行于L3，那么就可以得出L1平行

推论1：一条直线及直线外的1点可以确定一个平面

推论2：2条相交直线确定一个平面

推论3：2条平行直线确定一个平面

2. 三维空间中的点有3个自由度，x,y,z，对点p(x,y,z)若不加以约束，P可以出现在三位空间的任意地方

空间几何体

多面体、旋转体

柱体体积 V=sh

锥体体积 =

球体表面积

球体体积积

直线与切线方程

一、 直线方程

直线是初等代数和解析几何中最基本的图形。确定一条直线通常需要知道一个点和它的斜率。

1. 斜率

斜率 衡量的是直线的陡峭程度，即 的变化量（rise）与 的变化量（run）之比。

如果一条直线通过两个点 和 ，那么它的斜率 为：

2. 点斜式

这是最常用、也最容易用于求切线方程的直线形式。

如果已知直线的斜率为 ，并且直线通过一个点 ，那么这条直线上的任意一点 都满足以下方程：

【应用】：当我们知道一个点的坐标和直线的斜率时，直接代入这个公式即可得到直线方程。

二、 切线方程

切线是直线的一种特殊情况。对于函数 而言，在点 处的切线是唯一地与函数曲线相切的一条直线。

切线方程的求解，就是利用导数的几何意义，然后应用上面回顾的“点斜式”：

1. 确定点

• ：给定的切点横坐标。
• ：通过将 代入原函数 得到，即 。

2. 确定斜率

• 在函数 上某一点的切线斜率，严格等于该点处的导数值。
• 因此，切线的斜率 为：

3. 写出切线方程

将点 和斜率 代入点斜式 ，得到切线方程：

求切线方程例题

函数：

切点横坐标：

目标： 求函数 在 处的切线方程 。

第 1 步：求切点

将 代入原函数 ，求出纵坐标 ：

所以，切点是 。

第 2 步：求斜率

我们需要先求出函数 的导数 。

虽然我们通常会使用求导法则 来快速得到 ，但我们依然使用极限定义来确保基础牢固：

因此，导函数是 。

现在将 代入导函数，求出切线斜率 ：

切线斜率是 。

第 3 步：写出切线方程

将切点 和斜率 代入点斜式 ：

【可选步骤：化简为斜截式 】

总结： 函数 在点 处的切线方程是 。