数值积分数值积分我们使用数值积分来求解如下形式的定积分：一团乱麻 当一个积分没有初等不定积分时，我们也求助于数值积分。例如，下面这些就没有公式： 或 数值积分得到的是数值，而不是解析表达式。我们将讨论三种数值积分技术：黎曼和、梯形法则和辛普

功、平均值、概率积分在平均值中的应用你已经知道如何求一组离散数字的平均值： 或 现在，我们要求一个连续体的平均值。 平均 这个地方和, 以及黎曼和的极限是除以 得到连续平均值 例 1. 求 在区间 上的平均值。（见图 2）

按磁盘和外壳划分的体积磁盘和外壳我们将通过一个例子来说明求体积的两种方法。 示例 1. 女巫的坩埚 方法 1：磁盘 图 2 中磁盘的面积是 。磁盘的厚度为 ，体积为 。坩埚的体积 为 代入² 如果 米，那么 给出 升一个巨大的坩埚 关

对数和几何的应用应用 FTC 2 到对数 像 Fresnel 函数 和 这样用积分定义的函数，几乎和基本函数一样容易使用。可以绘制它们的图形并制表列出值。在习题中，要求你们完成一两个这样的例子。为了熟悉定积分和 FTC2 的使用，我们将

微积分第二基本定理回顾：微积分第一基本定理 (FTC 1) 如果 连续且 ，则 。 我们也可以将其写成 。 连续函数都有反导数吗？ 是的，所有连续函数都有反导数。然而，对于像 这样的函数，它的反导数确实存在，但它不是我们以前见过的函数

微积分第一基本定理微积分基本定理（FTC 1）如果 连续，且 ，则 符号表示： $ F(x)|{a}^{b}=F(x)|{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a) $ 例 1： , ; 例 2： 的一个波峰下的面积（见图 1。）

定积分积分可用于计算累计总量、平均值和面积。 曲线下的面积：(见图 1。) 将区域划分为矩形 将矩形的面积相加 取矩形变薄时的极限 例 1. 任意 分成 个区间长度 矩形的底 高度： : -高度 : -高度

微分方程与分离变量法常微分方程 (ODEs) 例 1. 解： 我们认为这类方程已求解。 例 2. 或 （ 在量子力学中被称为湮灭算符。） 到目前为止，除了积分，我们只有一种方法来解它，即代换。求解 得到： 关键步骤是分离变量。

微分与原函数新记法： 微分 和 都称为微分。你可以把 看作是微分的商。它的一种用途是线性近似。 示例 1. 近似 方法 1（线性近似方法回顾） 一个好的基点是 ，因为 设 。 类似地， 方法 2（回顾） 接

中值定理与不等式 中值定理 中值定理（MVT）是微积分的基础。它阐述了： 如果 在 上可微，并在 上连续，那么 对于某个，其中 这里， 是割线的斜率，而 是切线的斜率。 几何证明： 取（虚线）与割线平行的直线，如图 1 所