04-1-定积分

定积分

积分可用于计算：累积总量、平均值和面积。

计算曲线下面积的基本思想（见图 1）：

1. 把区域分成许多窄条
2. 用矩形近似每一窄条的面积
3. 把矩形面积相加
4. 让矩形宽度趋于 0

例 1. 任意

1. 把区间 等分成 个小区间，每段宽度
2. 使用每个小区间的右端点，第 个矩形的高度为：
   • : 高度
   • : 高度

矩形面积之和：

下面利用一个三维阶梯金字塔来估计这个和。
考虑如图 3 所示的阶梯金字塔。

层: 底面，体积 。
层: ，体积 ，等等。
所以阶梯金字塔的总体积是

通过把阶梯体与内、外金字塔比较，可得：

且小于外部金字塔的体积：

两边除以 ：

由夹逼定理，

所以 在 上的面积是 。

例 2. ; 在 上的面积。与例 1 类似，但更简单的推理给出面积之和：

这正是底、高均为 的三角形面积（见图 4）。

规律：

下方的面积 似乎应满足 。这正是微积分基本定理的核心思想。

黎曼和

• 把 等分成 个小区间，每段长度
• 在第 个小区间中任取一点 ; 以 为矩形高度
• 矩形面积之和：

用求和符号表示： 称为黎曼和。

定义：

称为定积分。

当 时，该定积分表示曲线 与 轴在 上围成的面积。当函数取负值时，定积分表示带符号面积： 轴上方计正， 轴下方计负。

例 3. （积分不只表示几何面积，也能累计随时间变化的数量。）学生向父母借款。
本金 (美元)， 时间 (年)， 利率 (例如，6% 是 )。
在时间 之后，欠款为 。

积分可以用来表示借款总额，如下所示。
设 是以美元/年计的借款速率。
例如，若每月固定借款 ，则 。允许 随时间变化。
设 。

是第 个月期间的借款速率，所以借款金额约为 总额约为

当时间间隔趋于 0，得到

这表示一年内借款总额（单位：美元）。

积分也可以用来表示总欠款。总欠款取决于利率。
在时刻 借入的金额到年末还会经历 年的计息期，按简单利息计算，年末应还

把所有借款相加并取极限，得到年末总欠款：