04-2-微积分第一基本定理

微积分第一基本定理

微积分基本定理（FTC 1）

若 连续，且 ，则

记号：

例 1： , ;

例 2： 正弦函数一个波峰下的面积（见图 1）

例 3：

FTC 的直观解释：

是位置； 是速度。

• 右边 是净位移，即从时间 到时间 的位置变化（两个里程表读数之差）。
• 左边 可以看成速度计读数的累积。

近似许多小时间段内位移的总和。

当 很小时， 近似第 个时间段内的位移。

如果 改变符号，正负位移会在积分中互相抵消，因此 给出净位移，而不是里程表记录的总路程。

总路程应计算 。

例 4：

在 上，曲线位于 轴上方，贡献正面积；在 上，曲线位于 轴下方，贡献负面积。两部分大小相等、符号相反，所以相消。（见图 2。）

定积分的区间可加性（见图 3）

反向积分：

此定义保证基本定理无论 还是 都成立，也使得区间可加性对 的任意次序都成立，而不仅仅是图 3 中所示的顺序。

积分的不等式：

若 在 上成立，且 ，则

例 5： 估计

对 ，。在 上积分：

左侧为 1，右侧为 。

所以 ，即 。

例 6： 更好的 下界。已证明对 ：。两边从 0 到 1 积分：

左侧：

右侧：

所以 ，即 。

定积分的换元法：

若 ，则 ，不定积分换元为

对定积分，必须同时变换上下限：

例 7： 定积分换元：

令 。则 ，即 。
变换上下限：，。所以