04-2-微积分第一基本定理

微积分第一基本定理

微积分基本定理（FTC 1）

如果 连续，且 ，则

符号表示： $ F(x)|{a}^{b}=F(x)|{x=a}^{x=b}=F(b)-F(a) $

例 1： , ;

例 2： 的一个波峰下的面积（见图 1。）

例 3：

FTC 的直观解释：

是位置； 是速度或变化率。

• 右边 是 从时间 到时间 所移动的距离（两个里程表读数之间的差）。
• 左边 代表速度计读数。

近似于在时间 内行驶距离的总和。

如果 在第 个区间上接近 ，则上述近似是准确的。

如果 改变符号，则将 解释为里程表读数不再有效。

想象一次往返行程，。此时，正速度和负速度 相互抵消，而里程表将测量总距离，而不是净距离。

例 4：

该积分表示曲线下、 轴上方区域的面积总和减去 轴下方区域的面积。（见图 2。）

积分具有重要的可加性（见图 3。）

新定义：

使用此定义是为了使基本定理成立，无论 还是 。它也使得可加性对于任意顺序的 都成立，而不仅仅是图 3 中所示的顺序。

估计：

如果 则

例 5： 的估计

因为 对于 成立，

因此 ，或 。

例 6： 我们之前证明了 。由此可得

因此，，或 。

变量替换：

如果 ，则我们记 且

对于定积分：

例 7：

令 。则
且