微积分第二基本定理
回顾：微积分第一基本定理 (FTC 1)
- 如果
连续且 ，则 。 - 我们也可以将其写成
。
连续函数都有反导数吗？
- 是的，所有连续函数都有反导数。然而，对于像
这样的函数，它的反导数确实存在，但它不是我们以前见过的函数，而是一个新函数。 - 这个新函数被定义为一个积分：
。 - 它将具有
的性质。 - 其他的新函数包括
、 、 、 、 等函数的反导数。
微积分第二基本定理 (FTC 2)
- 如果
且 连续，则 。
FTC 2 的几何证明
- 使用面积解释：
等于曲线下 和 之间的面积。 。 (见图 1)。 。 - 因此
。 - 但是，根据导数的定义：
。
- 因此
。
FTC 2 的另一种证明方式
(这是 在区间 上的“平均值”)。 - 当区间长度
趋于 时，这个平均值趋于 。
FTC 1 的证明 (使用 FTC 2)
- 从
开始 (我们假设 连续)。 - 接下来，定义
。 - 根据 FTC 2，
。 - 因此
。 - 所以
是一个常数 (回想我们用中值定理证明了这一点)。 - 因此
。 - 最后，由于
，
- 这就是 FTC 1。
- 备注：在前面的证明中，
是一个定积分， 可以是任何反导数。 - 让我们用
这个例子来说明。在 FTC 1 的证明中取 ，
- 例如，如果
。那么 ，且
- 形如
的每个函数都适用于 FTC 1。
“新”函数的例子
- 误差函数 (Error Function)：常用于统计学和概率论，定义为
- 且
(见图二)。
- 对数积分 (Logarithmic Integral)：另一种此类“新”函数，定义为
- 该函数给出小于
的近似素数个数。 - 加密和素数：
- 一种常见的加密技术涉及对敏感信息（如银行账号）进行编码，以便通过不安全的通信信道发送。
- 信息只能使用一个秘密素数才能解码。
- 为了了解秘密有多安全，密码学家需要知道大约有多少个 200 位素数。
- 可以通过估计以下积分来找出：
- 我们知道
且 。 - 我们将近似到一位有效数字：对于
， 。考虑到所有这些，200 位素数的数量大致为：
- 有大量的 200 位素数。黑客找到解开你银行账号所需的 200 位素数的几率非常非常小。
- 附注：这个近似中的中间等式是一个非常基本且有用的事实：
。可以将其视为求底为 、高为 的矩形面积。在上面的计算中， ， ， 。
- 菲涅耳函数 (Fresnel functions)：另一组“新”函数，出现在光学中：
- 在作业中，要求找出
。这很容易！ 。
- 贝塞尔函数 (Bessel functions)：经常出现在具有圆对称性的问题中：
预告
- 我们将在下一讲中，从第一性原理使用 FTC 2 来讨论函数
。
