微积分第二基本定理
回顾：微积分第一基本定理 (FTC 1)
- 若
连续且 ，则 。 - 也可写成
。
每个连续函数都有原函数吗？
- 答案是肯定的。然而，有些连续函数的原函数无法用此前学过的初等函数表示。例如
，它的原函数确实存在，但不是多项式、指数、对数、三角函数及其有限组合所能表达的初等函数，而是一个新函数。 - 这个新函数可以用定积分定义：
。 - 它满足
。 - 类似地，下列函数的原函数也会产生新的特殊函数：
、 、 、 、 等。
微积分第二基本定理 (FTC 2)
- 若
且 连续，则 。换言之，积分与求导互为逆运算。
FTC 2 的几何证明
- 用面积解释：
表示从 到 的带符号面积。 。 - 当
很小时，这一窄条面积近似为矩形面积： (见图 1)。 。 - 令
： 。 - 而左侧正是
，因此 。
用平均值理解证明
这是 在小区间 上的平均值。 - 因为
连续，当区间长度 时，该平均值趋于 。
用 FTC 2 证明 FTC 1
- 假设
（且 连续）。 - 定义
。 - 由 FTC 2，
。 - 因此
。 - 由中值定理的推论，
是常数。 - 所以
。 - 又因为
，所以 。从而
- 即得到 FTC 1。
- 备注：在上述证明中，
是由定积分定义的函数， 可以是任何原函数。 - 以
为例说明。取 ，
- 例如，若取
。则 ，且
- 加法常数在上下限相减时自动抵消。形如
的每个原函数都适用于 FTC 1。
“新”函数的例子
- 误差函数 (Error Function)：概率与统计中常用，定义为
- 且
（见图 2）。
- 对数积分 (Logarithmic Integral)：另一种由积分定义的”新”函数，定义为
- 该函数可近似小于
的素数个数。 - 密码学与素数：
- 一种常见的加密技术涉及对敏感信息（如银行账号）进行编码，以便通过不安全的信道发送。
- 信息只能使用一个秘密素数才能解码。
- 为了评估安全性，密码学家需要知道大约有多少个 200 位素数。
- 可以通过估计以下积分来得出：
- 我们知道
且 。 - 用一位有效数字近似：对于
， 。因此，200 位素数的数量约为：
- 如此巨大区间内有极多素数。黑客找到解开银行账号所需的 200 位素数的几率非常非常小。
- 附注：上述近似中用到一个基本且有用的事实：
。几何上，这是底为 、高为 的矩形面积。在上面的计算中， ， ， 。
- 菲涅耳函数 (Fresnel functions)：光学中出现的另一组”新”函数：
- 习题中要求求
。由 FTC 2 立即得到： 。
- 贝塞尔函数 (Bessel functions)：具有圆对称性的问题中常出现：
下一讲预告
- 下一讲将利用 FTC 2，从第一性原理研究函数
。
