对数与几何应用
用 FTC 2 定义自然对数
像菲涅耳函数 和 这样用积分定义的函数，几乎和基本函数一样容易使用。可以绘制它们的图像并制表列出值。在习题中，要求完成一两个这样的例子。为了熟悉定积分和 FTC 2 的使用，下面详细讨论产生一个相对较新函数的最简单的积分，即自然对数。
幂函数积分公式
在 时失效，因为分母变为零。因此 的原函数不是幂函数。定义
（这个函数将被证明就是自然对数。相比先研究 、定义 、再把对数定义为 的反函数，这种积分定义更加直接。） 的所有基本性质都直接源自其定义。因为被积函数 在 处无穷大，本讲只定义 在 上。
由微积分第二基本定理 (FTC 2)，
所以 ， 在 上严格递增。又因为积分下限为 1，
因此：对于 ，；对于 ，。再求二阶导数，
所以 在整个定义域上凹向下。
的关键性质（表明它确实是对数）是将乘法化为加法：
断言 1.
证明： 由区间可加性，
要处理 ，令 。则
。上下限变为：当 时 ，当 时 。
因此，
这证实了 。
另外两个性质，即无穷远处的行为，完善了图像的全貌。
断言 2. 当 时，。
证明： 只需证明当 时， 即可，因为 递增，夹在相邻二次幂之间的其他 也具有相同行为。
因此， 当 时。（用更熟悉的记法，。）
断言 3. 当 时，，
证明： .
由断言 2，当 时，。因此
当 时，。
（当 时，，。）
因此 ，定义在 上，从 严格递增到 ，在 处穿过 轴，且凹向下。其图像如图 1 所示。
这为我们之前处理指数函数和对数函数的方法提供了一种更直接的替代方案。
从 出发，可以直接定义对数函数为 ，将 定义为满足 的唯一正数，将 定义为 的反函数，并定义 。
用 FTC 计算几何量（体积与面积）
1. 两条曲线之间的面积
参考图 2。先求交点 和 。若在 上 ，则两条曲线之间的面积 为
例 1. 求 和 围成的区域面积。
首先，画出这两条曲线并求交点（见图 3）。
交点在 处。代回求相应的 值， 和 。因此，曲线在 (1, -1) 和 (4, 2) 处相交（见图 3）。
有两种方法可以求这两条曲线之间的面积：一种较难，一种较易。
较难的方法：竖直切片
若用竖直切片，区域的下边界在 前后发生变化。
当 时，上边界为 ，下边界为 。
当 时，上边界为 ，下边界为直线 。
面积等于每个区域中上函数与下函数之差的积分：
- 较易的方法：水平切片
- 这里不是用上函数减下函数，而是用右函数减左函数。
水平切片只需一个积分，所以明显更简单。
2. 旋转体的体积：圆盘法
将 绕 轴旋转，得到旋转体：
取宽度为 的竖直薄条，旋转后近似形成一个薄圆盘，半径为 ，横截面积为 。小体积为：
（绕 轴的旋转体）
对 积分即得旋转体的总体积。
例 2. 求半径为 的球体的体积。
上半圆的方程为
- 把上半圆与 轴之间的区域绕 轴旋转，得到半径为 的球。
- 的范围是从 到 。由圆盘法，
- 利用对称性可以进一步简化。被积函数 是偶函数，所以
- （这样做的好处是 0 比 更容易作为下限。）结果相同：
