04-4-对数和几何的应用

对数和几何的应用

应用 FTC 2 到对数

像 Fresnel 函数 和 这样用积分定义的函数，几乎和基本函数一样容易使用。可以绘制它们的图形并制表列出值。在习题中，要求你们完成一两个这样的例子。为了熟悉定积分和 FTC2 的使用，我们将详细讨论产生一个相对较新函数的最简单的积分，即对数。

回想一下

除了当 时。因此， 的反导数不是幂函数，而是其他东西。所以我们定义一个函数

（这个函数最终证明就是对数。但回想一下，我们之前处理对数的方法相当复杂。我们首先分析 ，然后定义了数 ，最后将对数定义为 的反函数。使用这个积分公式的直接方法将更容易。） 的所有基本性质都直接源自其定义。注意 定义在 上。（我们不会将定义扩展到 以外，因为在 处 是无穷大）接下来，

微积分基本定理 (FTC2) 暗示着

另外，由于我们以 1 为积分下限开始积分，我们看到

因此 是递增的，并在 处穿过 轴：对于 ，；对于 ，。再次微分，

因此 是凹向下的。

的关键性质（表明它确实是对数）是它将乘法转换为加法：

断言 1.

证明: 根据 和 的定义，

要处理 ，进行代换 。那么

。当 时，。

因此，

这证实了 。

另外两个性质，即端点值，完善了图形的一般情况。

断言 2. 当 时，。

证明: 只需证明当 时， 即可，因为 是递增的这一事实填充了 2 的幂之间的所有值。

因此， 当 时。（用更熟悉的记法，。）

断言 3. 当 时，，

证明: .

断言 2 暗示 。因此

当 时，。

时，，

因此 ，定义在 上，从 增加到 ，并在 处穿过 轴。它是凹向下的，其图形可以如图 1 所示绘制。

这为我们之前处理指数函数和对数函数的方法提供了一种替代方案。

从 开始，我们可以定义对数函数为 ，将 定义为满足 的数，将 定义为 的反函数，并将 定义。

应用 FTCs 到几何（体积和面积）

1. 两条曲线之间的面积

参考图 2。找到交点 和 。曲线之间的面积 为

例 1. 求 和 之间的区域面积。

首先，绘制这些函数的图形并找到交点（见图 3）。

交点在 处。代回这些值以找到相关的 值， 和 。因此，曲线在 (1, -1) 和 (4, 2) 处相交（见图 3）。

有两种方法可以找到这两条曲线之间的面积：一种困难的方法和一种简单的方法。

困难的方法：垂直切片

如果我们垂直切片两条曲线之间的区域，我们需要考虑两个不同的区域。

当 时，区域的下界是直线。

然而，对于 ，区域的下界是侧向抛物线的下半部分。

我们通过对每个区域中顶部曲线与底部曲线之差进行积分来找到两条曲线之间的面积 ：

• 简单的方法：水平切片
• 在这里，我们不是用顶部曲线减去底部曲线，而是用右侧曲线减去左侧曲线。

2. 旋转体的体积

将 绕 轴旋转（从页面向外），得到：

我们想计算该立体的一个“切片”的体积。

我们可以将每个切片近似为一个圆盘，其宽度为 ，半径为 ，横截面积为 。然后一个切片的体积为：

（对于绕 轴的旋转体）

对 进行积分以找到旋转体的总体积。

例 2. 求半径为 的球体的体积。

圆的上半部分的方程是

• 如果我们将曲线上半部分绕 轴旋转，就会得到一个半径为 的球体。
• 注意 的范围是从 到 。将所有这些放在一起，我们发现

• 通常可以利用对称性来进一步简化这类问题。
• 例如，在上面的问题中，注意曲线是关于 轴对称的。因此，

• （这样做的好处是零比 更容易作为下限来计算。）我们得到相同的答案：