03-8-微分方程和变量分离

微分方程与分离变量法

常微分方程

• 例 1.
  • 解： 这类方程通过求原函数便视为已经解决。
• 例 2.
  • （ 在量子力学中称为湮灭算符。）
  • 先解出导数：
  • 关键步骤是分离变量：把所有含 的因子放到一边，含 的因子放到另一边。
  • 两边积分：
  • （只需一个常数 ）
  • 指数化：
  • 把符号与 合并为任意常数 ，并补上零解： （）
  • 虽然 ，但 仍给出原方程的合法解 ，所有 的解取决于初始条件。
  • 例如，若 则 。若 则 （见图 1）。

一般形式：

• 令 (其中 。)
• 两边积分，得到 的隐式解：
• (其中
• 其中 , 且
• （ 是反函数。）
• 回看上例：

例 3（几何应用）。

求满足下列几何条件的曲线：曲线上任意点 处的切线斜率，等于从原点 到该点的射线斜率的两倍（如图 2 所示）。

因此，

（分离变量）

（两边积分）

（指数化；注意

同样， 、 和 都是合法的。解族包括，例如，

例 4。 求与例 3 中抛物线族正交相交的曲线族。

两条曲线正交相交时，斜率互为负倒数。因此，

分离变量：

两边积分：

这是一个椭圆族的方程。这些椭圆的横半轴与纵半轴之比为 （见图 3）。

分离变量法通常给出隐式解，但在本例中可以解出 ：

第二次考试复习范围

1. 线性和/或二次近似。
2. 的曲线草图。
3. 最大值与最小值问题。
4. 相关变化率。
5. 原函数与分离变量法。
6. 中值定理。