03-7-微分与原函数

微分与原函数

新记法：
微分

和 都称为微分。莱布尼茨记号

可以形式上看作微分之比。它的一种用途是线性近似。

例 1. 近似计算

方法 1（线性近似方法回顾）

一个好的基点是 ，因为 。
设 。同理，

方法 2（回顾）

接下来，利用近似公式 ，其中 ，：

这与方法 1 的结果一致。

方法 3（使用微分记法）

需要 ，因为 。当 时，。

支撑这三种方法的底层原理相同，核心都是切线近似。

原函数

意味着 是 的一个原函数。
等价地：

1. ，其中 是任意常数。
2. 
   对于
3. （这解决了第 2 条中 的特殊情况。）
5. （其中 表示反正弦函数，而非 ）

性质 3 的证明：绝对值 对正 和负 都给出了正确结果。
现在验证 的情形：

原函数只差一个常数

如果 且 ，则 （ 为某个常数）。
证明：

由中值定理的推论，导数恒为零的函数在区间上是常数。
因此 （ 为某个常数），即 。

换元法

例 1.
换元：

因此，

例 2.
另一种求原函数的方法是”高级猜测”。先写成

猜测：，验证一下：

因此，

例 3.
猜测：，验证：

因此，

例 4.
猜测：，求导验证：

因此，

例 5.
另一个同样正确的答案是

这看起来矛盾，来验证一下：

且

所以两个答案都正确。如何解释这个表面上的矛盾呢：两个答案之间只差一个常数。

因此，

这两个答案实际上是等价的，差异可吸收到任意常数 中。
例 6.
（假设 ）
设 ，则 。代入积分得