03-6-中值定理与不等式

中值定理与不等式

中值定理
中值定理（MVT）是微积分的基础定理之一。它指出：
若 在 上可导，且在 上连续，则

这里，

是割线斜率，而 是切线斜率。即至少有一条切线与端点割线平行。

几何直观： 取一条与割线平行的直线（虚线），如图 1 所示，从曲线下方向上平移，直到第一次接触曲线；或者从上方向下平移。
如果函数不可导，这种方法就会出错。例如，对函数 就失效。平行线总是首先在 处接触曲线，无论其斜率是多少，而 不存在（参见图 2）。

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中值定理的行程解释

假设从波士顿到芝加哥的距离为 1000 英里，恰好用 3 小时走完全程。
时刻 离波士顿的距离。
， ， ， 。

其中 是某个时刻 的瞬时速度。即旅途中至少有一个时刻的瞬时速度恰好等于全程平均速度。
中值定理的等价形式
中值定理的第二种写法：

中值定理的第三种写法：将 改名为 。

该定理只保证 存在，并不说明 的具体位置；它依赖于 、 和 。
将此形式的中值定理与线性近似进行比较（参见图 3）。

线性近似使用确定的斜率 ，但通常只是近似。中值定理则给出精确等式，其代价是斜率 中的 未知，它可能是 在 和 之间任何一点的斜率。

中值定理的重要推论
关键结论：

1. 若 ，则 严格递增。
2. 若 ，则 严格递减。
3. 若对所有 都有 ，则 为常数。
   递增/递减的定义：
   递增意味着 ；递减意味着 $ af(b) $。
   证明：
   证明 1：
   

4. 因为 和 都为正，所以

5. （证明 2 与证明 1 类似，故省略。）
   证明 3：

6. 结论 1、2 和 3 看似直观，但其实并非显然。回顾导数的定义，它只涉及无穷小量。无穷小量的局部行为与函数在有限区间上的整体行为之间有什么关系，这并非不证自明的。
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第 14 讲
18.01 2006 年秋季
不等式
基本性质 递增可用于证明许多不等式。
例。

2. 对于
3. 
   证明。 将性质 1 视为已知。其余两条性质的证明如下：
   证明 2：定义 。则 ，且 （由性质 1）。
   因此 严格递增，所以对 有 。即：

4. 证明 3：令
   ，这正是 。由证明 2 知 （当 ）。
   因此 对 成立。即

5. 类似地，（令 可证）
   继续下去：

6. 最终得到

7. 课程后面学习泰勒级数时将系统讨论这一展开。
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