03-5-牛顿法及其他应用

牛顿法及其他应用

牛顿法
牛顿法是数值求解方程 的有力工具。
例 1. ，即求解 。我们已知其正根为 。牛顿法可以给出很好的数值近似。该方法利用了切线（见图 1）。

目标是找到曲线与 轴的交点。
从初始猜测 开始。代入 的方程，得 ，离 0 还不很近。
下一个猜测 是函数在 处的切线与 轴的交点。
切线方程为：

当切线与 轴相交时，，所以

注意： 是 在点 处的切线斜率。

用 表示：

因此，

在本例中，，。因此，

核心思想是反复迭代这个过程：

依此类推。迭代对 的近似非常精确。

| 迭代 | 值 | 精度: |
| — | — | — |
| | 1 | |
| | 2 | |
| | | |
| | | |
| | | |

注意，有效数字的位数随每次迭代大致翻倍。
总结
牛顿法如图 3 所示，可总结为：

例 1 考虑了如下特殊情况：

现在，设

要在例 1 中求出 ，对迭代式两边取极限，令 。

这得出

这正是我们所期望的：。
警告 1. 牛顿法可能收敛到意外的根。
**例：**若取 ，则 而非 。这种收敛到意外根的情况如图 4 所示。

警告 2. 牛顿法可能完全不收敛。
这种情况如图 5 所示。此时 ，，依此类推，迭代在两点之间循环，不能收敛到单一值。

绳上圆环

考虑一根长度固定的绳子，两端固定在 和 处（见图 6）。
圆环套在绳子上，可以自由滑动。求圆环的平衡位置 。

物理原理 圆环最终停在最低位置（势能最小），因此问题是在 位于绳子上的约束下最小化 。

约束 绳长 固定：

函数 由上述约束方程隐式确定。约束曲线（圆环的可能位置）是以 和 为焦点的椭圆，但知道它是椭圆并不能帮助找到最低点。
实验表明最低点在中间的某个位置。
由于约束曲线的两端高于中间，最低点是一个临界点（即 的点）。
课堂上还通过画出最低点处的水平切线进行了物理演示。
为求临界点，对约束方程关于 作隐式微分：

由于在临界点处 ，方程可化简为

从图 6 可以看出，最后一个方程的几何意义为

其中 和 是绳子左右两段与竖直方向的夹角。
物理与几何结论
角度 和 相等。利用向量分析重力施加在绳子两半上的力，可以发现两段绳子的张力相等——这正是物理平衡。
（从另一个角度看，等角性质体现了椭圆的反射性质：假设椭圆是一个镜面，来自焦点 的光线按入射角等于反射角的规则反射后，将直接射向另一个焦点 。）
和 的公式
我们还没有求出 的具体位置。下面推导

因为 ，将以下两个方程相加：

得出

直角三角形的竖直边方程为（注意 ）：

将这两个方程相加，利用 ，得

利用关系 ，可得 。于是 的公式为

最后，为求 的公式，利用相似直角三角形：

因此，我们得到了用 和 表示 和 的公式。
课文中省略了 和 公式的推导，因为推导较长，而且从作为临界点计算直接结果的平衡条件中，我们已经获得了关于这个问题的全部物理直觉和理解。
最后说明. 在多变量微积分中，将学习用拉格朗日乘数法来系统处理任意多个变量的约束极值问题。