03-4-相关变化率

相关变化率

例1. 警察位于公路边缘外 30 英尺处。汽车正在靠近，雷达测得警察与汽车之间的直线距离正以 80 英尺/秒的速率减小。当汽车距雷达枪 50 英尺时，汽车是否超过 65 英里/小时的限速？（换算后为 95 英尺/秒）

首先，画示意图（如图 1 所示）：

接下来，定义变量。关键在于确定哪些量随时间变化。

当 时，（这是一个 3-4-5 直角三角形）。此外，。 为负值，因为汽车正沿 方向运动。切记先不要把 的数值代入！ 是变化的，且它取决于 。

由勾股定理：

对该方程关于时间求导（隐式微分）：

现在代入瞬时数值：

这超过了 95 英尺/秒的限速，确实超速了。

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还有一种较长的解法。从以下方程出发：

代入数值：

解得：

（第三种策略是对 求导。最简单的做法是对代数形式最简单的方程 作隐式微分，即第一种方法。）

解决这类问题的一般步骤：

1. 画示意图，定义变量和方程。
2. 关于时间求导。
3. 代入给定数值。切记在求导之后再代入数值。

例2. 一个倒圆锥形水箱，顶部半径为 4 英尺，高 10 英尺。水以 2 立方英尺/分钟的速率注入。当水深为 5 英尺时，水位上升多快？

由图 2，水箱的体积为

关键是画出二维截面图。用 和 表示任意水位下的可变半径和高度。利用图 3 中的相似三角形，可以找到 和 之间的关系。

图 3：关联 和。

由图 3 可见，

即

从图 3 中，我们看到

换句话说，

将 的表达式代回 中，得

关于时间求导：

现在代入数值（， ）：

解得

相关变化率也出现在习题集 3（图4）中。其中有一个涉及卫星的误差范围问题，要求求 。

因此，

还有一个基于类似思想的抛物面镜问题（图 5）。

这里需要求 或 。这种测量敏感性问题在所有测量问题中都很重要，例如预测小行星是否会撞击地球。