03-3-最大值和最小值问题

最大值与最小值问题

例 1. （与上一讲的函数相同）

• 最大值是多少？答案：。
• 最大值在何处取得？答案：。（见图 1）

注意：有人会问”最大值是多少？”答案不是 。你可能习惯于找出临界点 ，这是主要的微积分步骤，但容易忽略最大值本身 。临界点 和临界值 都很重要，它们共同构成图像上的点 ，即函数转向的点。

例 2. 找出图 2 中函数的最大值和最小值。

答案：如果你已经画出函数图像，最大值和最小值是显而易见的。这里的目标是不画完整图像而求出最大值和最小值。

思路：在临界点和端点中寻找最大值和最小值。从图 2 可以看到，只需比较临界点和端点对应的 值。（注意不连续点！）

例 3. 求一个容积固定为 的无盖圆柱罐，使其表面积 最小。

1. 画示意图。
2. 确定变量。（本例中为 和表面积 。）
3. 写出约束条件。本例中约束为

还需要表面积公式：

现在，问题表述为：在 为常数的条件下，使 最小。

4. 利用约束消去 （以及常数 ）：

；

5. 找临界点（解 ），以及检查端点。 将在这些位置之一取得最大值或最小值。

还没完。还需要计算端点处 的值： 和 。

当 ，第二项 趋于无穷大，所以 。当 ，第一项 趋于无穷大，所以 。由于 在两个端点处，最小值将在临界点 处取得，而不在任一端点。

仍未完成。我们想求最小表面积 ，以及 的值。

最后，另一种（通常更好的）回答方式是求罐子的比例，即 是多少？

答案：

例 4. 一根长度为 1 的铁丝，将其截成两段，每段分别弯成一个正方形。怎样截取才能使两个正方形的总面积最大？

第一个正方形的边长为 ，面积为 。第二个正方形的边长为 ，面积为 。因此总面积为

所以，面积的一个极值为

不过还没完，还需要检查端点！当 时，

当 时，

比较图 6 中的端点值，可以看到最小面积在 处取得。最大面积不在 的内部取得，而是在 或 处取得，即把整根铁丝用于一个正方形。

启示：不要忘记端点。如果只看临界点，可能找到的是最差答案，而不是最好答案。