03-2-曲线草图的绘制

曲线草图

目标： 利用 和 的性质画出 的草图。图像应当在定性上正确，但不一定严格按比例绘制。

典型情形：这里 是极小值， 是取得该极小值的点。

注意，当 时，，即 在临界点左侧递减。当 时，： 在临界点右侧递增。

另一种典型情形：这里 是极大值， 是临界点。 在临界点右侧递减，在临界点左侧递增。

绘制曲线草图的步骤

1. 找出函数 的不连续点，尤其是无穷不连续点；
2. 找临界点：即 的点（通常是斜率从负变正或从正变负的点）；
3. 若计算不太困难，标出临界点及相应函数值；
   (a) 判断各临界点之间 的符号（如果尚未明显）。
4. 若容易求解，找出函数零点，即满足 的 值。
5. 确定函数在端点（或 ）处的行为。

例 1.

1. 没有不连续点。
2. ，令 得 。
3. (a) 在 处，。
   (b) 在 处，。在图上标出这两个点。
4. 找零点：，所以零点为 。
5. 当 时的行为。
   当 时， 项占主导，所以 。
   同理，当 时，。

综合以上信息，得到图 3 所示的草图。

再用第 3b 步（ 的符号）来验证一致性。

当 时 ；当 时 。确实，在 和 之间 递增，其余区间递减。

例 2.

这个例子说明，在研究导数性质之前，先找出不连续点有多么重要。计算导数：

警告：导数处处非正，你可能以为 总是递减的，图像看起来像图 4 那样。

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但正如你可能知道的， 的图像根本不是这样！它实际上如图 5 所示。事实上， 确实递减，除了在 处，函数从 跳到 。这就是为什么我们必须警惕不连续点。

例 3.

在 处有一个临界点。在 的两侧，，所以 处处递增。在这种情况下，临界点处 的符号不发生变化，但曲线会趋于平坦（参见图 6）。

例 4.

（注：此函数仅对 有定义）

当 趋近于零时，会发生什么？设 ，则

即当 时，。

接下来，求临界点。

即临界点为 。临界值为

接下来，求函数的零点：

因此 在 处取得。

当 时，会发生什么？考虑 ：

因此当 时，。综合以上信息，得到图 7 中的草图。

最后，用步骤 3b 的信息来验证：

确实，函数在 和临界点之间递增。

二阶导数信息

当 时， 递增；当 时， 递减。（参见图 8 和图 9）。

因此，二阶导数的符号决定了曲线的凹凸性。二阶导数主要有两个用途：

1. 判断临界点是极大值还是极小值，即二阶导数判别法。

		临界点是:
0	负值	极大值
0	正值	极小值

2. 凹凸性的”修饰”。

的点称为拐点。通常在这些点处，曲线的凹凸性从凹向上变为凹向下，或反之。参见图 10，看这在例 1 中是如何体现的。