03-1-线性和二次逼近

线性与二次近似

本讲使用导数进行近似计算。

线性近似

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切线近似函数 。它在切点 附近提供一个很好的近似。然而，离 越远，近似通常越差。

例 1. ， （基点）

改变基点：

基点 。

基本线性近似列表

在这个列表中，我们总是使用基点 并假设 。

1. （如果 ）（参见图 2 的 a 部分）
2. （如果 ）（参见图 2 的 b 部分）
3. （如果 ）
4. （如果 ）
5. （如果 ）

证明

证明 1： 取 ，则 且

因此以 为基点时，。（证明 2, 3 类似。4 已在前面证明。）

证明 5：

例 2. 求 在 附近的线性近似。

可以计算 再求 ，但更方便的做法是通过代数组合基本近似式。

将这两个近似式放在一起：

此外，（使用 ，其中 ）。

现在，舍去 及更高阶项。因为各基本近似已经忽略了若干 及更高次项，组合时也不应单独保留偶然出现的二次项。注意，我们假设 ，这意味着 非常小， 更小，等等。高于一次的项都可以忽略。

因为 ，可以直接读出 和 ，这比计算 更快捷。

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例 3.

在第一次考试中，要求计算 。最快的方法是使用第一单元的工具：

（因为 。在 时，。）

现在也可以用线性近似来解决同一问题。

因此，

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例 4：Quirk 星球上的时间膨胀

假设在 Quirk 星球上，一颗卫星正以极高的速度从头顶飞过。我们想求时间膨胀（狭义相对论中的概念），即卫星上的时钟相对于观察者手表所经历的时间。借用狭义相对论的公式：

是卫星上时钟测量的时间， 是观察者手表上测量的时间， 是卫星的速度， 是光速。

从 到 的快捷方法是写成：

这里， 是卫星上时钟测量的时间， 是观察者手表上测量的时间。对公式作线性近似：

如果 ，光速 ，则 。地面和卫星上的时间差异极小。尽管如此，GPS 卫星的无线电发射器确实需要考虑这类相对论修正来校准频率。

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二次近似

需要更高精度时，加入二次项：

几何上： 二次近似用一条最匹配的抛物线近似函数 。例如，考虑 （参见图 4）。若 ，则 ，且：

你可能想知道 项前面的 从何而来。原因在于，对二次函数而言，这个近似是精确的。例如，考虑二次函数：

以 为基点。则，

基本二次近似

1. （如果 ）
2. （如果 ）
3. （如果 ）
4. （如果 ）
5. （如果 ）

证明： 证明这些公式只需计算每种情况下的 、、。以第 4 种情况为例：

现在对Quirk 星球的例子应用二次近似，看看结果如何。

（使用第 5 种情况，其中 ， ）

由于 ，最后一项的量级为 。连最好的原子钟也难以测量这一精度，因此二次项太小，本例中线性近似已经足够。

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例 5.

求这个表达式的二次近似。将其重写为 ，分别使用各因子的近似式：

将这两个多项式相乘，只保留 及更低阶的项：

（注意：舍去了 及更高次项。这是二次近似，所以不关心高于 的项。）