02-6-指数和对数、对数微分法、双曲函数

指数、对数与对数微分法

指数函数与对数函数的导数

背景

本讲先假设底数 大于 1。

对一般实数 ，利用连续性将 从有理数指数延拓到实数指数。

本讲的主要任务：求

由定义，

提取公因式 ：

定义

虽然尚不知道 的具体值，但可以写出 。

有两种解释：

1. 解析上， 等于 在 处的值。

2. 几何上， 是 图像在 处的切线斜率。

确定 的关键在于：将 定义为满足 的数。如何确认这样的数 存在呢？首先注意，随着底数 增大，指数曲线 在 处变得更陡。下面通过几何方式估计 和 时的斜率 。看图 2 中 的图像：连接 和 的割线斜率为 1。由图形的凸性， 处切线较平，因此 （参见图 2）。

再看图 3 中 的图像：连接 和 的割线斜率为 1。由凸性， 处切线更陡，因此 （参见图 3）。

因此在 2 与 4 之间存在唯一底数，使 处的斜率等于 1。

因此，将 定义为满足以下条件的唯一数：

等价地，

即

是什么？既然定义了 ，且 ，所以

自然对数（ 的反函数）

为更好地理解 ，研究自然对数函数 。其定义如下：

（或）

注意， 始终为正，即使 为负数。

回顾 ；对于 ，；对于 ，。另有 。

用隐函数微分法求 。令 ，要求 。

最后， 是什么？

有两种方法：

方法 1：改写为以 为底，使用链式法则。

将 重写为 。则

这看起来可能难以求导，循序渐进来看：

根据链式法则，

注意， 是常数，不是变量！因此，

或

回顾

所以现在知道了 的值：。

即使从其他底数（如 10）出发，自然对数仍然会出现：

底数 初看可能有些奇怪，但它无处不在。久而久之，你会体会到它有多么自然。

方法 2：对数微分法。

思路是：先求 ，再间接得到 。有时这样更方便。令 。

由于 且 ，也可写成

将此应用于 。

（注意， 是常数，不是变量。）因此，

---

例 1.

对于底数和指数都含变量的函数，应使用以 为底的方法或对数微分法。这里使用后者。

因此，

如果要用以 为底的方法，可以写 ，再用链式法则求导，结果相同，只是步骤更多。

链式法则的另一种记法

例 1.（续） 函数复合 和

注：。函数复合不满足交换律！

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例 2. 用对数求 。

由于指数 也在变化，先研究其对数的极限。

我们知道

此表达式包含两个相互竞争但平衡的部分：，而 。

接下来，由于 ，

取极限：当 时，，所以

综上所述，

设 ，则当 时，。

若 ，则当 时，。即所求极限为：

注释 1. 我们并未算出 的确切数值。现在可以用这个极限公式近似计算；取 就能得到 的较好近似。

注释 2. 对数在所有科学甚至金融领域都有应用。以股票市场为例：如果说今天市场下跌了 50 点，需要知道下跌前的指数是 300 点还是 10,000 点。换言之，真正有意义的是百分比变化，即变化量与起始值的比率：