02-5-隐式微分和逆

隐式微分与反函数

隐函数微分法

例 1. 。

此前已对整数指数 以及 证明了该公式。现在尝试将其扩展到有理数指数：

令 ；，其中 和 是整数。

要求 。由 ，两边对 求导得 。解出 ：

我们知道 是 的函数。代入得

所以，

这与幂法则一致！

例 2. 单位圆的方程：，可以写成 。

所以 。先看上半圆：

现在，用隐函数微分法做同样的事情。

在第二项应用链式法则，

结果相同！

例 3. 。此时不容易把 显式写成 的函数，因此直接用隐函数微分法求 。

收集含 的项，用 和 表示：

反函数

如果 且 ，则称 为 的反函数，记作 ：

现在，用隐函数微分法求反函数的导数。

根据链式法则：

且

因此，隐函数微分法使得求反函数的导数成为可能。

例。

这种形式较复杂。利用几何关系来化简。

图 1：直角三角形，用于说明反正切函数 的求导

在这个三角形中，，所以

由勾股定理，斜边长为：

由此可得

从而

所以，

即

反函数的图像

设 且 。要同时画出 和 的图像，需要将 写成变量 的函数。若 ，则 ，即交换变量 和 。如图 2 所示。

图 2：的图像是的图像关于直线的镜像