02-4-链式法则和高阶导数

链式法则和高阶导数

链式法则

我们已经有了对和、差、积求导的一般方法。那么复合函数呢？

例 1. ， 。

所以，。为求 ，写出

由于连续性，当 时， 也趋于 0。于是得到：

在这个例子中， 且 。

所以，

链式法则的另一种记法

例 1.（续） 函数 和 的复合

注意：。函数复合不满足交换律！

图 1：函数复合：

---

例 2.

令

例 3.

有两种方法。，或

因此幂法则至少已从正整数指数扩展到了负整数指数。

高阶导数

高阶导数就是对导数继续求导。例如，如果 ，那么 就是 的二阶导数，记作 。

记法

计算高阶导数的方法就是反复求导！

例。

先观察低阶情形，寻找规律。

记号 称为” 的阶乘”，定义为 。

归纳证明：已验证基础情形 ()。

归纳步骤： 假设 （第 种情形），证明第 种情形也成立。

证毕！