乘积、商、正弦、余弦的导数
导数公式
求导公式大致分为两类：
- 针对具体函数的公式： 或
- 一般运算法则： 和 （其中 是常数）
本讲约定：
证明
从导数定义出发。
同样的方法可以证明 。
和 的导数。
上一讲得到两个基础极限：
因此，我们知道了 和 在 处的值。现在求它们在任意 处的值。
回顾和角公式：
因此，
由于 且 ，上式化简为
类似地可得
乘积法则
证明：
显然，
因此，在分子中加上这一项不会改变任何东西。
重新排列该表达式，得到
请记住，和的极限是极限的和。
注意：还用到了以下事实
乘积法则的证明假设 和 都可导，而可导蕴含连续。
面积的直观解释
把 看成边长为 的矩形面积。内部的（橙色）矩形面积为 。定义 为 的变化量：
简记 ，使得 ；类似地，。因此，最大矩形的面积是 。
如果让 增加而保持 不变，则增加了红色阴影区域的面积；如果让 增加而保持 不变，则增加了黄色阴影区域的面积。红色和黄色矩形的面积之和为：
当 和 很小时， 是二阶小量，可以忽略，即白色矩形的面积非常小。因此，最大矩形和橙色矩形之间的面积差近似等于红色和黄色矩形的面积之和：
（除以 并令 即可完成论证。）
商法则
为求 的导数，使用上面提到的 和 记号。于是，
因此，
所以，
