02-2-极限与连续性三角极限

极限、连续性与三角函数极限

再谈导数的”变化率”解释

平均变化率 瞬时变化率
例

1. = 电荷 电流
2. = 距离 速率（速度）
3. = 温度 温度梯度
4. 测量的敏感度：习题集 1 中有一个相关例子。GPS 中，无线电信号只能在一定误差范围内确定高度 （参见图 [2] 和图 [3]）。问题是目标量 能被多精确地测量。为此，我们考察 。换言之，这些变量相互关联，我们想知道其中一个变量的变化如何影响另一个变量。

极限与连续性

简单的极限

对于这种简单的极限，直接代入极限值就能得到有意义的答案。
但请注意，

导数定义中的极限绝不是这种简单极限，因为直接令 会使分母为零。（计算极限 时，隐含假设 。）

连续性

我们称 在 处连续，如果

这个不连续函数如图 [4] 所示。对于 ，

但是 。（也可以说，函数 在 0 处左连续，但右不连续。）

1.可去不连续点

可去不连续点的定义：
右极限： 表示只让 且 。
左极限： 表示只让 且 。
如果 （即双侧极限存在） 但不等于 ，或者 没有定义，则称该不连续点是可去的。
例如， 在 处有定义。稍后将看到如何求 时的极限。

2. 跳跃不连续点

（右极限）存在，（左极限）也存在，但它们不相等。

3. 无穷不连续点

右极限： ；
左极限：

4. 振荡型不连续点

这个函数既不趋于有限值，也不趋于 ——说它趋于任何值都没有意义。这时只能说极限不存在。

导数的图像

请注意，函数 的图像与导函数 的图像通常形状很不相同！（你可能还会注意到 是奇函数，而 是偶函数。一般而言，可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数。）

南瓜自由落体：第二部分

这次，有人将一个南瓜扔过校园里最高的建筑物。

两个三角函数极限

注意：下列极限中的角度必须以弧度计，不能用角度制！

下面是第一个极限的几何直观：

想象当 变得非常小时（参见图 [13]）图像会发生什么。当 时，我们看到 。

为什么 ?

• 几何直观 (如图 )：
  • 当 非常接近 0 时（角度变得非常小），关注单位圆中的一个扇形。
  • 是三角形的对边长。
  • 是对应圆弧的弧长。
  • 当 时，三角形的斜边（半径 ）几乎与 轴重合，对边长 几乎与弧长 相等。
  • 因此， 趋近于 。
  • 结论： 当 时，。

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涉及余弦的第二个极限呢？****

从图 [14] 可以看出，当 时，短线段 比弧长 缩小得更快。因此，。

2. 为什么 ?

• 几何直观 (如图)：
  • 当 非常接近 0 时：
  • 是图上红色的水平短线段，表示半径（长度为 1）与 轴上的投影 之间的间隙。
  • 是圆弧的弧长。
  • 当 时，比较 和 这两个无穷小量。
  • 趋近 0 的速度比 更快（它是 的二阶无穷小，即 ）。
  • 一个更快趋近 0 的量除以一个较慢趋近 0 的量，结果趋近 0。
  • 结论： 当 时， 趋近 0。

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总结： 掌握了弧度制和单位圆几何关系后，就可以直观地理解，当角度极小时， 和 几乎相等，而 趋近 0 的速度比 快得多。

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我们以一个定理来结束本讲，该定理将有助于后续计算更多的导数。

定理：可导必连续

如果 在 处可导，那么 在 处连续。
证明： 。

证明中没有除以零：第一步是通过乘以 实现的。这看起来似乎有问题，因为当 时，我们乘以了 。但计算 时的极限时，我们始终假设 ，即 。因此，证明是有效的。

附：为什么乘以，就变成导数的定义式了？

1. 概念回顾：平均变化率

在微积分中，导数是用来测量函数在某一个点的瞬时变化率。

首先，我们从两个点之间的平均变化率（或称为割线斜率）开始：

• 考虑函数 上的两个点： 和 。
• 和 之间的割线斜率（平均变化率）是：

2. 核心思想：取极限得到瞬时变化率

导数的思想是：我们让第二个点 无限趋近于第一个点 。

• 当 趋近于 时，水平距离 趋近于 0，垂直距离 也趋近于 0。
• 这条割线 的极限位置就是函数在点 处的切线。
• 切线的斜率，就是函数在 处的瞬时变化率，我们称之为导数，记为 。

3. 导数的定义式

因此，函数 在点 处的导数 的定义式就是这个平均变化率的极限：

总结： 当看到 这个形式时，它本身就是导数 的代数表达！

证明中的应用：为什么变成这样就是导数定义式了？

现在我们回到”可导必连续”的证明：

我们通过代数变形得到了：

根据极限的乘法法则，我们拆分为：

1. 左侧的极限： 观察方框中的部分 。
2. 对照： 它完全匹配导数的定义式。
3. 代入： 因为已知函数 在 处可导，所以这个极限存在，且其值就是
4. 替换： 因此用 替换左侧的整个极限表达式。

这就是证明能够继续进行的关键：通过代数构造，将需要证明的极限（连续性）转换成包含已知条件（可导性）的表达式。