02-1-导数、斜率、速度和变化率

前言

• 什么是导数
  • 几何意义
  • 物理意义
  • 对各种测量问题都至关重要（经济学、政治学、金融学、物理学等）
• 如何对各种函数求导
  • 例如，本讲讨论导数的含义；后续课程将系统学习各种函数的求导方法。

第一讲：导数、斜率、速度和变化率

导数的几何视角

导数是函数图像在某一点处切线的斜率。但切线究竟是什么？

• 它并不只是”一条与曲线只有一个交点的直线”。
• 它是割线的极限：固定曲线上一点，让另一点沿曲线趋近，连接的割线便趋近切线。

导数的几何定义：

当 时（ 固定），割线 的斜率的极限。线段 的斜率是差商：

例 1.

使用导数定义时需要注意：你可能想直接令 ，但这样做差商总是得到 ，没有意义。必须先进行代数化简，才能得到答案。

函数是

将它们代入差商公式：

取 时的极限，现在可以令 代入：

因此，

导数为负，与 在 处的切线斜率为负相符。
求切线方程。
利用点斜式，写出点 处的切线方程：

代入 和 ，得到：

作为练习，计算这条切线与 轴和 轴围成的三角形的面积（见图 4 中的阴影区域）。
先求切线的 截距。 截距是 对应的点。将 代入切线方程：

因此，切线的 截距位于 。
接下来， 截距位于 。由于 和 是相同的方程，交换 和 后图形关于直线 对称。由对称性， 截距位于 。如果不放心对称性论证，也可以用求 截距的代数方法验证。（注意 截距是 对应的点。）
最后，

有趣的是，无论在双曲线 的哪个第一象限点作切线，切线与两坐标轴围成的三角形面积总是 2。

记法

微积分由多位数学家共同发展，因此导数有多种等价记号，就像同一事物可以有多种表达方式。
既然 ，自然可以写出：

我们称之为 “Delta y”、”Delta f” 或”的变化量”。
用 除以等式两边，得到差商的两个表达式：

令 ，得到：

使用莱布尼茨（Leibniz）记号时，必须注意导数在哪一点取值——在上面的例子中，是在 处。
表示函数 的导数的其他等价记号包括：

（注：，常用于物理学中的时间导数。）
（注：，是微分算子记号。）

例 2. ，其中

是什么？
由定义，将 代入差商：

（以下用 替换 ，以减少书写量。）
根据二项式定理，

---

我们可以将它重写为：

是”所有含 的项”的简写。

---

令 ：

---

因此，

---

这就是幂函数求导法则。它可以逐项应用到多项式。例如，

导数的物理解释

导数表示瞬时变化率（速度就是典型例子）。

MIT 学生有一个万圣节传统：从约 400 英尺高的建筑屋顶扔下南瓜。

（暂时接受）近地面自由落体的位置公式，南瓜在时刻 的离地高度为：

落地时，，
解得 。因此南瓜需要 5 秒到达地面。

从路程大小看，5 秒内的平均速率为

但更令人关心的是南瓜落地瞬间的速度。为求 时的瞬时速度，计算 ：

为负，表示南瓜的 坐标正在减小，即向下运动。