04-7-数值积分

第 24 讲：数值积分

1. 为什么需要数值积分

当定积分

的被积函数很复杂，或者没有初等原函数时，需要用数值方法求近似值。

例如：

和

都不能通过初等原函数直接写出闭式答案。

数值积分给出具体数值近似，而不是解析表达式。

本讲介绍：

1. 黎曼和；
2. 梯形法；
3. 辛普森法。

2. 等距分割

把区间

等分成 段：

每段宽度为

令

3. 左端点黎曼和

在第 个小区间

使用左端点高度 ，得到

类似地，右端点黎曼和为

当分割足够细时，它们都趋向定积分。

4. 梯形法

梯形法不用矩形，而在每个小区间上用直线连接相邻函数值。

第 个梯形面积为

把全部梯形相加：

等价地，

梯形法正好是左、右端点黎曼和的平均：

因此它对区间两端作了更对称的处理。

5. 辛普森法

辛普森法不是用常数或直线，而是每次用一条抛物线通过三个相邻采样点。

它要求小区间数

5.1 两个小区间上的公式

对点

其中相邻横坐标间距都是 ，通过三点的抛物线下方积分为

也可写成

即“总底长乘加权平均高度”。

5.2 一般辛普森公式

把相邻两段一组：

合并重复端点后：

权重模式是

6. 辛普森权重检查

对常数函数

检查公式。

当 为偶数时：

• 两个端点权重总和为 ；
• 有 个奇数下标点，每个权重 4；
• 有 个内部偶数下标点，每个权重 2。

总权重：

所以

恰好等于

7. 例：计算

用两个小区间：

节点为

函数值：

8. 梯形法结果

9. 辛普森法结果

10. 精确值与误差

精确积分为

误差：

即使只用两个小区间，辛普森法也明显更准确。

11. 误差阶

在函数足够光滑、使用等距分割时：

• 左／右矩形法的全局误差通常为

• 中点法和梯形法的全局误差通常为

• 辛普森法的全局误差通常为

因此把 减半时，辛普森误差通常约缩小到原来的

更精确地，若 连续，则复合辛普森法误差满足某个

形式的界。

12. 方法选择

• 只有少量离散数据时，梯形法简单可靠；
• 函数较光滑且有等距采样时，辛普森法通常更高效；
• 辛普森法必须使用偶数个小区间；
• 函数有尖点、不连续或剧烈变化时，应细分区间或使用自适应方法；
• 数值结果应通过增加 比较稳定性。

13. 本讲要点

数值积分通过简单函数近似被积函数；使用的局部模型阶数越高，在光滑条件下通常能获得更高精度。