05-1-三角积分与三角换元

第 26 讲：三角积分与三角换元

1. 正弦与余弦幂的积分

考虑

其中

已知基本公式：

处理高次幂时，策略取决于 的奇偶性。

2. 方法 A：至少一个指数为奇数

2.1 正弦指数为奇数

保留一个 ，把其余偶次正弦用

改写，然后令

2.2 余弦指数为奇数

保留一个 ，把其余偶次余弦用

改写，然后令

3. 例 1：

拆出一个 ：

令

则

4. 例 2：

拆出一个 ：

令

所以

5. 方法 B：两个指数都为偶数

当 都是偶数时，反复使用降幂公式：

它们来自

因此

6. 例 3：

使用降幂公式：

再用

得到

所以

6.1 快捷推导

由

有

再对 降幂，即可得到同一结果。

7. 型积分

考虑

关键恒等式：

基本导数：

8. 的积分

令

则

也可写成

9. 的偶次幂

若 的指数为偶数，可保留一个 ，并用

改写其余部分，再令

例如：

10. 的奇次幂

若 的指数为奇数，可保留一个

并利用

然后令

例如：

11. 的积分

这是 的特殊情形：

推导时把分子、分母同乘

令

则

所以

奇数次 而偶数次 的更一般情形较复杂，将在后续继续讨论。

12. 三角换元

三角函数积分技巧也能处理含根式的积分。

对

自然选择

因为

在选取

时，，所以

13. 例 4：圆弧下的面积

圆

的上半圆为

整个上半圆面积已知为

现在计算从 0 到 的部分面积：

13.1 换元与上下限

令

则

上下限：

因此

令

因为

且

得到

当 时：

正好是四分之一圆面积。

14. 策略汇总

对

• 为奇数：保留一个 ，其余改成余弦；
• 为奇数：保留一个 ，其余改成正弦；
• 两者均偶：反复使用降幂公式。

对

• 为正偶数：保留一个 ，换元 ；
• 为正奇数：保留一个 ，换元 ；
• 其他情形可能需要更进一步的恒等变换或递推公式。

对根式

15. 本讲要点

• 三角恒等式把难积分化为适合换元的形式；
• 指数奇偶性决定正弦余弦幂积分的策略；
• 与 是正切、正割换元的关键微分因子；
• 三角换元可利用

消去平方根；

• 定积分换元必须同时变换积分上下限。