05-2-反向换元与配方法

第 28 讲：反向换元与配方法

1. 继续计算圆弧下的面积

考虑

它表示半径为 的上半圆，从 到 的带符号面积。

2. 三角换元消去根号

令

选取

则 ，所以

根号已经消失。

上下限：

因此

3. 把答案换回

令

则

从直角三角形可读出：

• 斜边为 ；
• 对边为 ；
• 邻边为 。

所以

又因为

所以

最终：

4. 几何检查

结果由两部分组成：

是圆心角为 的扇形面积，因为

是底为 、高为 的直角三角形面积。

这与积分结果完全吻合。

5. 常见三角换元表

5.1

使用

因为

所以

在合适角度范围内成立。

5.2

使用

因为

所以

选定适当分支后可写作 。

5.3

使用

因为

6. 配方法

遇到根号内同时含二次项和一次项，例如

先配方：

一般公式：

7. 例：

计算

实数被积函数的定义域满足

即在区间

上讨论；端点处根号为零。

7.1 平移变量

配方：

令

积分变为

7.2 正割换元

在 的分支上令

则

在选定角度范围内成立。

因此

8. 从三角变量换回原变量

由

得

构造直角三角形：

• 斜边为 ；
• 邻边为 2；
• 对边为 。

所以

于是

可吸收到积分常数中。换回 ：

这一公式在各个连通定义区间上取适当分支。

9. 有理函数积分预告

有理函数是多项式之比：

例如：

但把两项合并：

于是看似更难的积分

其实只需把有理函数重新拆成简单分式。下一讲将系统介绍部分分式分解。

10. 本讲要点

• 三角换元利用三角恒等式消去二次根式；
• 使用 ；
• 使用 ；
• 使用 ；
• 含二次项和一次项的根式应先配方；
• 换元后可借助直角三角形把三角函数换回原变量；
• 对数答案应使用绝对值并注意定义域分支。