05-3-部分分式

第 29 讲：部分分式

1. 有理函数积分

有理函数是两个多项式之比：

目标是把复杂有理函数系统地分解为容易积分的简单分式。

例如：

但同一个被积函数合并后看起来更复杂：

部分分式的任务就是把后者拆回前者。

2. 使用部分分式前的准备

2.1 先确保是真分式

若

必须先做多项式长除法，把它写成

部分分式分解用于分子次数低于分母次数的真分式部分。

2.2 因式分解分母

在实数范围内，把 分解成：

• 一次因子；
• 不可约二次因子；
• 以及它们的重复幂。

分解形式决定部分分式的模板。

3. 不同的一次因子

考虑

分母因式分解：

设

4. 较慢方法：清除分母

两边乘以

得到

展开右侧：

比较系数：

解得

5. 遮盖法

对不同的一次因子，可以更快地求系数。

5.1 求

将等式乘以 ，再令

含 的项消失：

所以

5.2 求

将等式乘以 ，再令

含 的项消失：

所以

最终：

6. 重复的一次因子

考虑

因为因子 重复两次，必须包括它的每个幂：

不能只写最高幂项。

7. 求重复因子例题的系数

7.1 求

乘以

并令 ：

7.2 求

乘以 ，令 ：

7.3 求

普通遮盖法不能直接隔离 。代入一个方便的值，例如 ：

即

所以

最终：

8. 不可约二次因子

并非所有实系数多项式都能分解成一次因子。例如：

在实数上不可约。

对不可约二次因子，分子必须使用一次多项式：

考虑

设

9. 求不可约二次例题的系数

9.1 求

遮盖 ，令 ：

所以

9.2 求

令 ：

所以

9.3 求

令 ：

所以

因此

10. 积分不可约二次例题

分别计算：

所以

11. 高次重复一次因子

例如：

直接用幂法则：

12. 高次不可约二次因子

考虑

令

利用

得到

然后使用偶次余弦的降幂方法计算。

13. 部分分式模板总结

不同一次因子

重复一次因子

不可约二次因子

若不可约二次因子重复，也要为每个幂写一个一次分子。

14. 本讲要点

• 先做多项式除法，再分解分母；
• 每个不同一次因子对应一个常数分子；
• 重复因子必须列出从一次到最高次的所有幂；
• 不可约二次因子对应一次分子；
• 遮盖法适合快速求不同一次因子的系数；
• 其余系数可通过代入方便的 值或比较系数求出；
• 分解完成后，有理函数积分转化为对数、幂函数与反正切等基本积分。