05-4-分部积分递推公式与弧长

第 30 讲：分部积分、递推公式与弧长

1. 分部积分公式

从乘积法则开始：

改写：

两边积分：

使用微分记号：

分部积分是乘积求导法则的逆运用。

2. 定积分形式

所以

3. 怎样选择 与

通常希望：

• 求导后变简单；
• 容易积分；
• 新积分比原积分容易。

常见经验顺序可记作 LIATE：

1. 对数；
2. 反三角函数；
3. 代数函数；
4. 三角函数；
5. 指数函数。

这只是经验，不是绝对规则。

4. 例 1：

把被积函数写成

取

则

由分部积分：

因此

由于 ，此处绝对值不是必需的。

5. 例 2：

取

则

所以

也可“高级猜测”：

多出的 1 可通过减去 消除。

6. 递推公式

递推公式把一个含参数 的积分，化为相同类型但参数更小的积分，从而反复使用直到达到基本情形。

7. 例 3：

定义

取

则

所以

反复应用：

符号交替，系数依次出现

直到 。

8. 例 4：

定义

取

则

所以

反复递推：

当 是非负整数时，过程有限步结束。

9. 有些积分没有初等原函数

对被积函数做一点改动，可能就无法用初等函数表达。例如：

或

这不表示积分不存在。定积分

本身就是一个完整、精确的答案，也可以在计算机上数值求值。

建立正确积分模型通常比手工求出原函数更重要。

解析方法仍然有价值，因为经常需要研究一整族参数积分，例如

并判断结果如何依赖参数 。

10. 弧长

弧长公式在多变量微积分中也很重要。

设曲线为

一个无穷小曲线段可近似为直角三角形的斜边：

所以

若沿 增加方向积分，则 ，可写成

因此从

到

的弧长为

11. 例 5：单位圆弧长

单位圆：

上半圆为

求从 到 ，其中 ，的弧长。

导数：

于是

因此

弧长：

所以

12. 参数方程

参数方程把 都表示为第三个变量 的函数：

参数不仅描述曲线形状，还描述曲线的：

• 起点；
• 方向；
• 运动速度；
• 可能的重复描绘。

13. 例 6：圆的参数方程

其中 为常数， 为变量。

消去参数：

所以轨迹是半径 的圆。

当

当

因此 时，从 到 逆时针描绘第一象限四分之一圆。

14. 例 7：椭圆的参数方程

消去参数：

所以轨迹是横半轴 2、纵半轴 1 的椭圆。

当

当

因此随 增大，曲线从顶部向右运动，即顺时针描绘。

15. 参数曲线的弧长元素

对

有

所以

在 增加方向上成立。

弧长：

15.1 圆的参数弧长

对

因此

若 。

所以从 到 的圆弧长为

这正是“弧长 = 半径 圆心角”。

16. 本讲要点

• 分部积分：

• 递推公式把参数为 的积分化成参数更小的同类积分；
• 没有初等原函数时，定积分仍是合法的精确对象；
• 直角坐标曲线弧长：

• 参数曲线弧长：

• 参数方程同时编码轨迹、方向和速度。