05-5-参数方程弧长与表面积

第 31 讲：参数方程、弧长与表面积

1. 参数曲线弧长回顾

若曲线由

给出，则

因为

所以

在 递增方向上成立。

因此弧长为

2. 例 1：半立方抛物线

考虑参数方程

2.1 消去参数

所以

在 上，，因此

2.2 弧长元素

因此

因为 。

2.3 计算弧长

令

则

即使某条曲线的弧长积分无法解析求出，也总可以用数值积分近似。

3. 旋转曲面的表面积

把曲线上的微小弧段 绕 轴旋转。若该弧段距旋转轴的半径为

则它走过的圆周长为

微小弧段旋转形成一条窄带，其面积近似为

因此，若曲线由 给出：

若曲线由参数方程给出：

当 。一般情况下半径应写为 。

4. 例 2：旋转半立方抛物线

将

绕 轴旋转。

得到一个喇叭形曲面。

由上一节：

又有

所以

5. 用三角换元处理表面积积分

对

令

则

并且

所以

于是原积分化成

这是可继续计算的正切—正割积分，但过程较长，源讲义在此停止。

积分上限相应由

变成

所以表面积也可写为

6. 例 3：单位球的表面积

单位圆上半圆：

将其绕 轴旋转，得到单位球面。

求 与 之间的球带面积：

上一讲已得到：

而

所以乘积发生完全约消：

因此

这是单位球的球带面积公式：球带面积只取决于其沿旋转轴方向的高度

7. 特殊情形

7.1 整个单位球

取

则

7.2 单位半球

取

则

8. 半径为 的推广

对半径为 的球：

有

所以

球带面积：

整个球取 ：

这也称为阿基米德球带定理：球面带面积等于同半径外接圆柱上相同高度带的侧面积。

9. 本讲要点

• 参数曲线弧长：

• 绕 轴的旋转曲面元素：

• 参数形式表面积：

• 复杂表面积积分可用三角换元或数值积分；
• 单位球带面积为 乘轴向高度；
• 半径 的球面面积为