05-6-极坐标与极坐标面积

第 32 讲：极坐标与极坐标面积

1. 极坐标

在极坐标中，平面上一点的位置由：

• 到原点的距离 ；
• 从正 轴到该点射线的有向角

确定。

记作

2. 例 1：把 化为极坐标

直角坐标点：

半径：

该点位于第四象限，所以可取

若使用

也可写成

3. 极坐标不唯一

常用约定包括：

或

但也可以允许任意角度甚至负半径。

同一点满足：

例如：

也可表示为

因为

4. 极坐标与直角坐标转换

始终成立：

因此

若规定 ，则

角度应根据象限确定：

只写

可能丢失象限信息，并在 时失效。

5. 例 2：圆的极坐标方程

半径为 、圆心在

的圆，其直角坐标方程为

代入

展开：

利用

除去原点解的公共因子 ，得到

原点在多个角度下都可表示，仍包含在曲线上。

6. 选择正确的角度范围

取

此时

恰好描绘整圆一次：

• ：从原点出发；
• ：到最右点 ；
• ：回到原点。

其中

描绘上半圆，

描绘下半圆。

如果使用

则 ，半径为负，射线反向，结果会把同一个圆再描绘一次。

所以极坐标作图的关键问题之一，是选取恰好描绘目标曲线一次的角度范围。

7. 极坐标面积公式

设区域由

描述。

取一个很小的角度增量 。相应窄扇形近似为一个三角形：

• 高约为 ；
• 底边弧长约为 。

所以小面积：

取极限得到精确公式：

如果求两条极坐标曲线之间的面积：

8. 例 3：用极坐标求偏心圆面积

对

面积为

使用

与半径为 的圆面积一致。

9. 例 4：圆心在原点的圆

半径为 的圆：

因为

所以极坐标方程为

取

10. 例 5：射线

从原点出发、与正 轴夹角为 的射线：

直角坐标参数形式：

11. 例 6：直线

从直角坐标式

开始。代入

所以

若要求 ，可取

12. 例 7：从极坐标化回直角坐标

给定

两边整理：

利用

移项并平方：

所以

配方：

标准形式：

这是一个椭圆：

• 中心为 ；
• 竖直半长轴为 ；
• 水平半短轴为 ；
• 焦距为 ；
• 一个焦点正是原点。

13. 例 8：四叶玫瑰线

由于半径会正负交替，曲线形成四片花瓣。

第一片朝向正 轴的花瓣，可用

描绘。

在：

时，

到达花瓣尖端；

时，

回到原点。

源讲义说明：下一次正式授课为 Lecture 34，因为 Lecture 33 是第四次考试。

14. 本讲要点

• 坐标转换：

• 极坐标表示通常不唯一；
• 负半径表示沿相反方向取点；
• 极坐标面积：

• 选择角度范围时必须避免遗漏或重复描绘；
• 直角坐标与极坐标方程可通过基本转换公式互相变换。