05-7-不定式与洛必达法则

第 34 讲：不定式与洛必达法则

1. 不定式

极限中常见的不定式包括：

称其为“不定式”，是因为单凭分子、分母各自趋于 0 或无穷，不能确定比值的极限。

例如：

直接代入得到 ，但这不是答案。

2. 先尝试代数化简

因式分解：

对 约去 ：

遇到不定式时，因式分解、约分、有理化或恒等变换往往比直接使用洛必达法则更简单。

3. 洛必达法则的局部直观

若

则

当 时，分子、分母分别趋于

若

便得到简单情形：

上一例中：

所以极限为 。

4. 洛必达法则

在适当的连续、可导条件下，如果

或分子、分母的绝对值都趋于无穷，并且 在 的邻域内成立，若

存在（可为无穷），则

它同样适用于：

• 左极限或右极限；
• ；
• 。

关键是原比值必须呈 或 型。

5. 例 1：幂差比

5.1 与线性近似比较

在 附近：

所以

洛必达法则本质上比较分子、分母的一阶局部变化率。

6. 例 2：基础三角极限

这也等于

7. 例 3：导数型极限

计算

这是 型：

它正是函数

在 处的导数。

8. 例 4：

9. 例 5：

第一次使用洛必达：

新极限仍是 ，可再次使用：

与二次近似

一致。

10. 失效示例：不可在非不定式上继续使用

考虑

第一次使用洛必达：

此时分子趋于 1，分母趋于 0，已经不再是 或 型，不能再次使用洛必达。

若错误地再求导，会得到

这是错误结论。

正确分析使用

所以

双侧极限不存在。

使用洛必达前后都要检查形式：“先看清，再洛必达”。

11. 型与增长速度

洛必达法则也适用于 型，可比较函数增长速度。

12. 例 6：指数函数快于一次函数

若 ：

因此 比 增长更快。

13. 例 7：指数函数快于任意固定次多项式

例如：

连续使用洛必达十次：

所以

更一般地，对任意固定正整数 ：

14. 一个更短的比较

因比值最终为正：

后者由一次洛必达可知趋于无穷，因此原比值也趋于无穷。

15. 例 8：对数慢于任意正幂

计算：

这是 型：

因此在 时：

16. 其他不定式

洛必达法则直接处理：

其他常见不定式包括：

应先通过代数、倒数或对数把它们化为商的 或 形式。

17. 例 9：

这是 型。写成以 为底：

先计算指数：

这是 型。改写为：

此时是 型，可用洛必达：

因此

18. 本讲要点

• 洛必达法则只直接适用于 与 ；
• 每次使用前都应重新检查新极限是否仍为不定式；
• 能用代数化简时，通常优先化简；
• 洛必达法则与局部线性近似密切相关；
• 增长速度层级：

对任意固定 ；

• 幂型不定式应先取对数，再处理指数的极限。