05-8-反常积分

第 35 讲：反常积分

1. 无穷区间上的反常积分

定义：

如果右侧极限存在且为有限数，则称反常积分收敛；否则称其发散。

符号 不是可直接代入的普通上限，而是极限过程的缩写。

2. 例 1：指数衰减

设

计算

按定义：

因为 ：

所以

对很大的有限 ：

有时无穷上限反而产生比有限上限更简单的公式。

3. 应用：放射性衰变

设：

• 是 时每秒衰变数；
• 衰变率在时刻 为

长期总衰变原子数：

所以

半衰期 满足：

取对数：

因此

3.1 讲义中的钋-210示例

源讲义以半衰期约 138 天的钋-210为例。1 克中原子数近似为

将

秒代入，得到初始活度约

约为 4500 居里。

源讲义还以每次衰变 5.3 MeV 估计约 140 W/g 的放射能率，并强调摄入 α 放射源极其危险。这是课程中的历史物理估算，不构成任何接触或安全操作建议。

4. 例 2：反正切积分

因为

当 。

5. 例 3：半高斯积分

由上一讲：

被积函数是偶函数，所以

有趣的是，有限上限积分

没有初等闭式，只能用误差函数或数值方法表示；而无穷上限却有简洁答案。

6. 例 4：调和积分发散

所以

7. -积分

考虑

7.1

由于

所以

7.2 $0

此时

所以积分发散。

7.3 判据总结

8. 直接比较判别法

设在充分大的 上：

则：

1. 若

收敛，则

也收敛；

2. 若

发散，则

也发散。

证明收敛时通常找一个更大的、已知收敛的函数；证明发散时通常找一个更小的、已知发散的函数。

9. 例 5：

考虑

对 ：

但是

在 附近发散，不能直接用来证明整个积分收敛。

应把区间拆开：

在 上，被积函数连续且有界，所以积分有限。

在 上：

而

因 而收敛。

所以

10. 例 6：

对 ：

所以

而

收敛。因此尾部积分收敛。

在 上， 连续且有界，所以：

11. 极限比较判别法

若 且

则

与

同敛散。

更弱地，若

且 收敛，也可推出 收敛。

12. 例 7：

当 ：

更正式地：

因为

发散，所以

13. 例 8：

设 为非负整数。指数增长快于多项式：

因此对充分大的 ：

于是

而

收敛，所以

事实上，该积分等于

可用分部积分递推证明。

14. 第二类反常积分

反常性也可能来自有限区间端点处被积函数无界。

例如：

定义为

计算：

令 ：

虽然被积函数在 0 处趋于无穷，面积仍可能有限。

15. 有限端点处的 -判据

注意它与无穷远处的判据方向相反：

• 时需 ；
• 时需 。

16. 内部奇点

若 在

处无界，必须拆成两个反常积分：

只有左右两部分都分别收敛，原积分才收敛。不能依靠两侧无穷量互相抵消；那会涉及不同概念的柯西主值。

17. 本讲要点

• 反常积分通过有限积分的极限定义；
• 收敛要求极限存在且有限；
• 无穷区间与无界被积函数都可能产生反常积分；
• 无穷远处：

• 原点附近：

• 比较判别法通常无需求出积分值；
• 有限区间上的普通部分可以与反常尾部分开处理。