05-9-无穷级数与收敛判别

第 36 讲：无穷级数与收敛判别

1. 从等比级数开始

最基本的无穷级数是等比级数

先考察它的前 项之和：

把两边乘以 ，再相减：

因此，当 时，

若 ，则 ，所以

若 ，各项不会以足够快的速度趋于零，等比级数发散。特别地：

• 时，部分和为 ，趋于无穷；
• 时，部分和为 ，没有极限。

2. 数列、级数与部分和

一个数列可写成

或简记为 。把数列的各项相加，得到无穷级数

它的第 个部分和是

无穷级数是否收敛，取决于部分和数列 是否有极限：

若这个极限不存在，级数就发散。

注意：仅有 还不足以保证级数收敛；但若 ，级数一定发散。

3. -级数

形如

的级数称为 -级数。它的收敛性规律是

这个结论可以用积分判别法说明。

4. 积分判别法

设 在 上为正、连续且单调递减，并令

则级数与相应的反常积分具有相同的敛散性：

对于 ，

恰好在 时收敛，因此得到上面的 -级数判别结论。

5. 调和级数为什么发散

当 时，得到调和级数

虽然它的通项 ，但部分和仍会无限增长。由积分比较可得

其中

因为 ，所以调和级数发散。它发散得非常缓慢，但无论给定多大的数，取足够多项以后，部分和终究会超过它。

6. 比较判别的思想

对于正项级数，可以把它与已知敛散性的级数比较。

直接比较

若从某一项开始

并且 收敛，则 也收敛。

反过来，若

并且 发散，则 也发散。

极限比较判别法

设 、，且

那么

具有相同的敛散性。

7. 例题

例 1

判断

是否收敛。

当 很大时，

所以

更严格地，

它与发散的调和级数具有相同的敛散性，因此原级数发散。

例 2

判断

是否收敛。

当 很大时，

由于

是 的收敛 -级数，极限比较判别法说明原级数也收敛。

原讲义的文字提取在这个根式表达式处略有缺损；这里依据随后给出的渐近式 还原。

8. 调和级数与积木悬挑

调和级数有一个著名的力学解释：把相同的积木一块块叠放在桌边，可以通过逐层调整重心，使顶层积木伸到桌外很远。

对于最上面一块积木，它相对于下一块最多可移动某个基本长度；前两块作为整体，相对于第三块还可移动该长度的 ；前三块作为整体，相对于第四块可再移动 ，依此类推。

因此，使用 块积木时，总悬挑量与

成正比。由于调和级数发散，理论上只要积木足够多，就能获得任意大的悬挑距离。

但“理论上可行”并不表示“实际可行”。由

可见，为了使悬挑量达到约 个基本单位，需要的积木数大约是

若每块积木厚约 ，整叠积木的高度约为

已经达到地月距离的量级。若想仅靠这种方式跨越一间约 英尺宽的房间，所需积木堆的尺度甚至会夸张到接近可观测宇宙的量级。

图示要点：每增加一层，就把其上方所有积木视为一个整体，并让这个整体的重心恰好位于下一块积木的边缘。

9. 本讲小结

1. 无穷级数的和由部分和数列的极限定义。
2. 等比级数在且仅在 时收敛。
3. -级数在 时收敛，在 时发散。
4. 积分判别法把正项级数的敛散性与反常积分联系起来。
5. 极限比较判别法适合处理与标准级数渐近相同的复杂通项。
6. 调和级数虽然发散得很慢，却会无界增长；积木悬挑问题直观展示了这一点。