05-10-泰勒级数

第 37 讲：泰勒级数

1. 一般幂级数

我们究竟应当怎样理解 这样的函数？一种回答是：把它表示为无穷幂级数。

先回顾等比级数：

一般幂级数具有形式

通常存在一个数 ，使级数在 时收敛。这个 称为**收敛半径**。在收敛区间内，高次项会越来越小，级数的“尾部”因而可以忽略到任意所需精度；在 时，通项甚至不会趋于零，级数发散。端点 必须另行判断。

例如，当公比为 时，

的部分和不断在 和 之间跳动，因此不收敛。

2. 幂级数的基本运算

在收敛半径以内，幂级数可以像多项式一样进行代数运算、逐项微分和逐项积分。

换元与代数运算

由

把 换成 ，得到

再把 换成 ，得到

把两个等比级数相乘：

逐项微分

对等比级数逐项求导，同样得到

一般地，若

则在收敛区间内部

逐项积分

同理，

对

从 到 积分：

对

从 到 积分：

3. 麦克劳林级数的系数

假设

逐次求导：

令 ，可得

一般地，

因此，以 为中心的泰勒级数（麦克劳林级数）是

这里

4. 指数函数

令 。它的每阶导数仍是 ，所以

于是

例如，

从而可以通过取足够多项把 计算到任意精度。

5. 正弦与余弦

对于 ，导数循环为

在 处，奇数阶导数为零，偶数阶导数交替取 和 。因此

这个级数只含偶次幂，与 是偶函数相吻合。

对上式逐项求导：

所以

最初几项给出此前学过的近似：

6. 二项式展开

令

在 处计算各阶导数，得到广义二项式展开

当 是非负整数时，展开在有限项后终止；一般情况下，它是一个无穷级数，其收敛区间需要另行判断。

7. 以其他点为中心的泰勒级数

不必总在 附近展开。以 为中心时，

例如，若要展开 ，以 为中心并不合适，因为 在 处不可导。选择 ，由二项式展开可得

8. 本讲小结

1. 幂级数在收敛区间内可按多项式规则运算。
2. 逐项微分和积分可以从已知级数产生新的函数展开。
3. 泰勒系数由函数在展开中心处的各阶导数决定。
4. 、 和 都有简洁而重要的幂级数。
5. 展开中心应选在函数光滑且便于计算的点。