05-11-导数斜率速度与变化率

第 1 讲：导数、斜率、速度与变化率

第一单元：导数

本单元的核心问题

1. 什么是导数？
   • 几何解释；
   • 物理解释；
   • 导数对经济学、政治学、金融学、物理学及各种测量问题都很重要。
2. 怎样对已经学过的各种函数求导？

例如，后续将学习如何计算

本讲讨论导数的含义；课程最初两周将系统学习各种函数的求导方法。

1. 导数的几何观点

导数是函数 图像在某一点处切线的斜率。

但“切线”究竟是什么？

• 切线并不只是“一条与曲线只有一个交点的直线”；
• 切线是割线的极限：固定曲线上的一点 ，让另一点 沿曲线趋近 ，连接 的割线便趋近切线。

设

横坐标的变化量为 ，函数值的变化量为

割线 的斜率是差商

当 ，也就是 时，如果差商有极限，便定义

这就是 在 处的导数，也是该点切线的斜率。

2. 例 1：

求 。

不能一开始就令 ，否则差商会变成没有意义的 。必须先进行代数化简：

现在才令 ：

导数为负，与 在 处的切线斜率为负相符。

3. 求切线方程

设

使用点斜式，切线方程为

代入 和 ，得到

也可化为

4. 切线与坐标轴围成的三角形

考察上述切线与 轴、 轴围成的三角形。

4.1 轴截距

令 ：

两边乘以 ：

所以

4.2 轴截距

函数关系 在交换 后不变，因此图像关于直线 对称。相应地，切线的 轴截距为

也可以在切线方程中直接令 得到同一结果。

4.3 三角形面积

这个结果很有趣：无论在双曲线 的哪个第一象限点作切线，切线与两坐标轴围成的三角形面积总是 2。

5. 导数的记号

微积分由多位数学家共同发展，因此导数有多种等价记号。

若

则

、 都表示“函数值的变化量”。

又因为

差商可写为

令 ，得到：

这是莱布尼茨记号；以及

这是常用的撇号记法，源自牛顿的记号传统。

其他等价写法包括

使用 时，要记得说明导数在哪一点取值；本例是在 处。

6. 例 2：幂函数

设 。由定义，

根据二项式定理，

这里

代表所有含 的项。

所以

令 ：

这就是幂函数求导法则。

它可以逐项应用到多项式。例如：

7. 导数的物理解释

导数表示瞬时变化率。速度就是典型例子。

MIT 学生有一个万圣节传统：从约 400 英尺高的建筑屋顶扔下南瓜。暂时接受近地面自由落体的位置公式，南瓜在时刻 的离地高度为

其中 以英尺计， 以秒计。

在一段时间内，平均速度为差商：

7.1 落地时间

落地时 ，所以

由此

从路程大小看，5 秒内的平均速率为

7.2 落地瞬间的速度

位置函数的导数为

在 时：

约等于 110 英里/小时。

负号表示南瓜的 坐标正在减小，也就是向下运动。若只问速率，则取速度的绝对值：

8. 本讲要点

• 导数是割线斜率在两点合并时的极限；
• 几何上，导数是切线斜率；
• 物理上，导数是瞬时变化率；
• 求极限前不能直接把 设为 0，通常必须先化简差商；
• 幂函数求导法则为

• 位置对时间的导数是速度，速度的正负表示运动方向。