05-12-极限连续性与三角极限

第 2 讲：极限、连续性与三角极限

1. 再谈“变化率”

设

当自变量从 变化到 时，函数值的变化为

平均变化率是

当 时，平均变化率趋于瞬时变化率：

1.1 变化率的例子

1. 若 表示电荷，则

表示电流。

2. 若 表示路程，则

表示速率。

3. 若 表示随位置变化的温度，则

表示温度梯度。

4. 导数也衡量测量的敏感度。GPS 中，无线电信号只能在一定误差范围内确定某个高度 。若目标量 与 有关，则

衡量高度测量的小变化会使 改变多少。

2. 极限

2.1 容易计算的极限

例如：

这里直接把 代入就能得到有意义的答案。

但是，导数定义中的极限通常不是这种“直接代入型”极限：

直接令 会使分母为零。计算极限时， 可以任意接近 0，但始终假定

3. 连续性

如果

就称 在 处连续。

这要求同时满足：

1. 有定义；
2. 存在；
3. 极限值等于函数值。

3.1 一个不连续函数

考虑

当 时，

而

所以函数在 0 处不连续。它从左侧连续，因为

但从右侧不连续。

4. 单侧极限

右极限

表示只让 且 。

左极限

表示只让 且 。

双侧极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等：

5. 不连续的类型

5.1 可去不连续

若左右极限相等，即

但 ，或者 没有定义，则称 处为可去不连续点。

只要重新定义

就可以使函数在该点连续。

例如，

在 处没有定义，但本讲稍后将看到

因此可令函数在 0 处的值为 1，从而补成连续函数。

5.2 跳跃不连续

若左右极限都存在，但

则称 处为跳跃不连续点。

5.3 无穷不连续

例如

在 附近：

所以 是无穷不连续点，直线 是竖直渐近线。

5.4 振荡型不连续

有些函数在趋近某点时无限振荡，既不趋于有限值，也不趋于 或 。这时只能说极限不存在。

典型例子是

在 时的行为。

6. 从函数图像想象导数图像

对于

导数为

函数图像与导数图像通常形状很不相同。

• 是奇函数；
• 是偶函数。

一般而言：

• 可导奇函数的导数是偶函数；
• 可导偶函数的导数是奇函数。

证明第二点可从 两边求导得到

即

7. 南瓜自由落体：第二部分

设南瓜的高度为

位置图像是一条开口向下的抛物线，速度为

速度图像是一条过原点、斜率为 的直线。

• 当 时，，高度增加；
• 当 时，，南瓜位于最高点；
• 当 时，，高度下降。

8. 两个三角极限

下列极限中的角度必须以弧度计，而不能用角度制：

8.1 的几何直观

在单位圆中，圆心角为 弧度的弧长就是

相应竖直边长为

当 时，小圆弧与其对应弦和竖直投影越来越接近，因此

更严格地，对于 ，由内接三角形、扇形和外接三角形面积可得

除以 ：

取倒数：

当 时，两端都趋于 1，由夹逼定理得到所需极限。

8.2 的几何直观

在同一个单位圆图形中，水平小间隙为

当 时，它比弧长 缩小得更快，因此

也可以代数验证：

令 ，第一因子趋于 1，第二因子趋于 0，所以乘积趋于 0。

9. 定理：可导必连续

**定理：**如果 在 处可导，那么 在 处连续。

证明

要证明连续，只需证明

当 时，

因此

所以

即 在 处连续。

证明中没有除以零：在计算 的极限时，我们只考虑 的邻近点，所以 。

逆命题不成立

连续不一定可导。例如

在 处连续，但左右导数分别为 与 ，因此在 0 处不可导。

10. 本讲要点

• 导数把平均变化率转化为瞬时变化率；
• 连续要求函数值、极限存在且二者相等；
• 双侧极限存在当且仅当左右极限存在且相等；
• 常见不连续包括可去、跳跃、无穷和振荡型不连续；
• 两个基础三角极限是

• 角度必须用弧度；
• 可导蕴含连续，但连续不蕴含可导。