05-13-乘积商正弦与余弦的导数

第 3 讲：乘积、商、正弦与余弦的导数

主讲：Kobi Kremnizer

1. 两类求导公式

求导公式大致分为两类：

1. 针对具体函数的公式，例如

2. 一般运算法则，例如

其中 是常数。

本讲约定：

并用 表示对 的导数。

2. 和的求导法则

要证明

从导数定义出发：

同样的方法可以证明常数倍法则：

3. 正弦函数的导数

上一讲得到两个基础极限：

第二个极限与

等价。

由定义：

利用和角公式

得到

因此

特别地，在 处，

4. 余弦函数的导数

同样由定义：

利用

可得

所以

特别地，

5. 乘积法则

若 都可导，则

5.1 由定义证明

在分子中加上再减去 ：

可导蕴含连续，所以

因此

即

5.2 面积的直观解释

把 看成边长为 的矩形面积。当两条边分别增加 时：

其中：

• 是一条新增窄矩形的面积；
• 是另一条新增窄矩形的面积；
• 是角落处更小的矩形面积。

当变化量很小时，

是二阶小量，可以忽略到一阶近似，因此

除以 并令 ，得到

6. 商法则

设 。考虑

用增量记号：

则

除以 ：

令 。此时

于是

记忆方式可以表述为：

7. 简单应用

7.1 乘积

7.2 商

7.3 正切

利用

得到

8. 本讲要点

这些公式都可以从导数定义和两个基础三角极限推出。