05-14-链式法则与高阶导数

第 4 讲：链式法则与高阶导数

日期：2006 年 9 月 14 日

1. 链式法则

我们已经有了对和、差、积求导的一般方法。现在考虑复合函数。

1.1 从增量推导

设

所以

当 从 变到 时，

变为

而

变为

当 时，

令 。由于 可导，因而连续，所以 。于是

这就是链式法则。

严格地说，上面的“约分式”写法表达的是极限乘积，而不是把 当作普通数直接约去；不过莱布尼茨记号准确提示了正确公式。

1.2 函数记号

若自变量仍记为 ，则

可以把它记成：

2. 例 1：

令

则

由链式法则，

3. 函数复合不满足交换律

若

则

而

通常

所以函数复合不满足交换律。

4. 例 2： 的导数

求

令

则

因此

5. 例 3：负整数次幂

求

方法一：链式法则

写成

于是

方法二：商法则

写成

则

因此幂法则

至少已经从正整数指数扩展到了负整数指数。

6. 高阶导数

高阶导数就是对导数继续求导。

若

再令

则

称为 的二阶导数。

6.1 常见记号

阶数	撇号记法	算子记法	莱布尼茨记法
1
2
3

计算高阶导数的方法就是反复求导。

7.

先观察低阶情形：

由此猜想

其中

称为 的阶乘。

7.1 数学归纳法证明

**基础情形：**当 时，

**归纳假设：**假设

归纳步骤：

因此对所有正整数 ，

更一般地，当 时，

当 时，

8. 本讲要点

• 链式法则：

• 函数复合通常不满足交换律；
• 幂法则可扩展到负整数指数；
• 高阶导数是连续多次求导；
• 的第 阶导数为 。