05-15-隐式微分与反函数

第 5 讲：隐式微分与反函数

1. 隐式微分

此前已对整数指数证明幂法则：

现在利用隐式微分把它扩展到有理数指数。

2. 例 1：有理数指数的幂法则

设

其中 是整数，且 。于是

对等式两边关于 求导：

解出导数：

代入

得到

因此，对适当定义域内的有理数 ，幂法则仍成立：

定义域需要单独注意。例如，当 为偶数时，实函数 通常只在 上定义；涉及负指数时还要排除 。

3. 例 2：单位圆

单位圆方程为

3.1 先显式解出

所以

先考虑上半圆：

由链式法则，

3.2 使用隐式微分

不必先解出 ，直接对

两边关于 求导：

所以

结果与显式求导完全相同，但隐式方法同时适用于上、下两个半圆。

当 时公式分母为零，对应单位圆在 处具有竖直切线。

4. 例 3：难以显式解出的曲线

考虑

不容易把 显式写成 的函数，因此直接隐式求导：

第一项使用链式法则，第二项使用乘积法则：

收集含 的项：

因此

只要分母不为零，这一公式便给出曲线上相应点的切线斜率。

5. 反函数

若

且

则称 是 的反函数，记作

也就是说，

6. 反函数求导公式

由

对 求导：

利用链式法则：

因此

由于

可写成标准形式：

把自变量重新记为 ，得到

该公式要求相应点满足

7. 例：反正切函数的导数

设

则

两边关于 求导：

所以

由于

可以构造一个直角三角形：

• 邻边为 ；
• 对边为 ；
• 斜边由勾股定理为 。

因此

从而

所以

8. 反函数的图像

若

交换 得

再解出 ，便得到

因此 的图像是 的图像关于直线

的镜像。

若

则

图像上的点

在反射后变为

反函数满足复合恒等式：

即

其中 是恒等函数。

9. 本讲要点

• 隐式微分适合由方程隐含定义、难以显式解出的函数；
• 对含 的项关于 求导时，必须乘以 ；
• 有理数指数同样满足幂法则；
• 反函数导数是原函数对应点导数的倒数：

• 的图像由 的图像关于 反射得到；
• 表示反函数，不等于 。