05-16-指数对数与对数微分

第 6 讲：指数、对数与对数微分

注：文件名提到双曲函数，但这份讲义的正文截至对数微分及 的极限表征，未出现独立的双曲函数章节。

1. 指数函数回顾

本讲先假设底数

指数运算满足

对有理数指数 ，定义

对一般实数 ，可以利用连续性把 从有理数指数延拓到实数指数。

本讲的主要任务是求

2. 指数函数的导数

由定义：

定义

于是

2.1 的两种解释

解析地，

几何地， 是曲线

在 处的切线斜率。

3. 自然常数

随着底数 增大，指数曲线 在 处变得更陡。

对 ，连接

的割线斜率为 1。由图形的凸性可见， 处切线较平，因此

对 ，连接

的割线斜率为

由凸性可见， 处切线更陡，因此

所以在 2 与 4 之间存在一个唯一底数，使 处的斜率等于 1。把这个数定义为 ：

等价地，

又因为

所以

4. 自然对数

自然对数 定义为指数函数 的反函数：

等价地，若

则

因为 ，所以实自然对数的定义域是

基本性质包括：

5. 自然对数的导数

设

则

两边关于 求导：

因为 ，所以

即

更一般地，

6. 一般指数函数 的导数

6.1 方法一：改写为以 为底

因为

所以

是常数。由链式法则：

与

比较可知

所以即使使用底数 10，也会自然出现自然对数：

7. 对数微分法

有时先求

的导数，比直接求 更容易。

令

由链式法则：

因此

等价地，

如果 可能为负但不为零，可以在相应区间使用

7.1 用对数微分再次求

设

取对数：

求导：

所以

8. 例 1： 的导数

设

指数和底数都含变量，适合使用对数微分。

取对数：

求导：

所以

也可以写成

再用链式法则，得到相同答案。

9. 例 2：极限

求

由于指数 也在变化，先研究其对数：

令

当 时，，且

因此

这是 在 处导数的定义，所以

设

则

于是

最终得到

这个公式也可反过来作为 的一种极限定义，并用于数值近似。

10. 对数导数与相对变化率

由链式法则：

右侧是函数的相对变化率。

例如，只说股票指数下跌 50 点并不足以判断变化是否显著：

• 从 300 点下跌 50 点，比例很大；
• 从 10,000 点下跌 50 点，比例很小。

真正可比较的是

其瞬时版本正是

11. 本讲要点

自然底数 的特殊之处在于，函数 的导数仍是它自身。