05-17-续讲与第一次考试复习

第 7 讲：续讲与第一次考试复习

1. 双曲正弦与双曲余弦

1.1 定义

双曲正弦定义为

双曲余弦定义为

英文中 常读作 “sinsh”， 常读作 “cosh”。

1.2 导数

同理，

注意：

而普通余弦满足

双曲函数公式中没有负号。

2. 双曲恒等式

重要恒等式：

证明：

3. 为什么称为“双曲”函数

令

则

这是双曲线的方程。

相比之下，令

则

这是单位圆方程。因此普通三角函数也称为圆函数，而 与双曲线相联系。

4. 第一次考试复习：一般求导法则

4.1 线性法则

4.2 乘积法则

4.3 商法则

也可以把

改写为乘积，再使用乘积法则和链式法则推导商法则。

4.4 链式法则

5. 隐式微分复习

考虑

不必先解出 ，直接对整个方程关于 求导：

即

收集 ：

所以

所得导数同时含 ，这在隐式微分中完全正常。

6. 反正弦函数的导数

设

于是

隐式求导：

所以

当 时，，并且

因此

7. 需要掌握的具体导数

应当知道下列函数的求导公式，并能够从已经学过的知识推导它们：

汇总如下：

7.1 推导

因为

所以

7.2 从极限推导正弦和余弦的导数

考试也可能要求根据

和

从导数定义

推导

8. 实数指数的幂法则

此前通过隐式微分证明了有理数指数情形。现在令 为任意实数，并假设 。

8.1 方法一：改写为以 为底

因此

求导：

8.2 方法二：对数微分

设

则

求导：

所以

因此，对任意实数 ，在实幂有定义并可导的区间内，

9. 综合例题

第一讲曾承诺：最终能够对很复杂的表达式求导。现在计算

令

外层使用链式法则，指数内部使用乘积法则：

所以

10. 本讲要点

• 双曲函数定义：

• 它们满足

• 应熟练运用和、积、商、链式法则与隐式微分；
• 实数指数的幂法则可通过指数函数或对数微分证明；
• 复杂函数的导数通常通过多条基本法则逐层组合获得。