05-18-线性与二次近似

第 9 讲：线性与二次近似

第二单元：微分的应用

本讲使用导数近似计算函数值。

1. 线性近似

函数 在基点 附近的切线为

因此，当 接近 时，

切线在切点附近能很好地逼近曲线；离 越远，近似通常越差。

2. 例 1： 在 附近

令

则

所以

令

基点相应变为 ，得到常用形式：

3. 基本线性近似

以下均以 为基点，并假设

3.1 证明示例

对

有

因此

对

有

所以

4. 例 2：组合基本近似

求

在 附近的线性近似。

先分别近似两个因子：

因此

相乘：

在线性近似中舍去 及更高次项：

由此直接读出

5. 为什么舍去高阶项

当

时，

线性近似只保留常数项和一次项。既然各基本近似已经忽略了若干二次及更高次项，在组合它们时也不应单独保留偶然出现的二次项。

6. 例 3：用线性近似求极限

设

求

由

取

得到

所以

因此

这也等于导数定义给出的

7. 例 4：Quirk 星球上的时间膨胀

设卫星相对观察者的速度为 。狭义相对论给出

其中：

• 是地面观察者腕表测得的时间；
• 是卫星时钟测得的时间；
• 是光速。

改写为

使用

令

得到

若

则

地面与卫星时间的差异极小，但 GPS 卫星的无线电发射器确实需要考虑这类相对论修正。

8. 二次近似

需要更高精度时，加入二次项：

几何上，二次近似用一条最匹配的抛物线逼近函数。

8.1 为什么系数是

设

以 为基点：

因此

这解释了二次近似中 的来源，并保证该公式对任何二次多项式完全精确。

9. 的二次近似

令

则

所以

10. 基本二次近似

以下均在 时成立：

对于 ，二阶导数在 0 处也是 0，所以其二次近似仍只有一次项；下一项实际是三次项。

10.1 验证

因此

11. 时间膨胀的二次修正

对表达式

用二次近似

其中

得到

若

则二次项量级约为

连最好的原子钟也难以测量这一量级，因此本例中线性近似已经足够。

12. 例 5：组合二次近似

再次考察

分别使用二次近似：

相乘并保留至 ：

三次及更高次项被舍去，因为这里只构造二次近似。

13. 本讲要点

• 线性近似就是切线近似：

• 二次近似加入曲率信息：

• 可先分别近似各因子，再进行代数运算；
• 必须一致地舍去高于目标阶数的项；
• 近似适用范围取决于 与基点的距离以及所需精度。