05-19-曲线草图

第 10 讲：曲线草图

1. 目标

利用

的行为画出 的草图。

图像应当在定性上正确，但不一定严格按比例绘制。

2. 临界点与单调性

若

则 是一个临界点候选。

2.1 局部极小值的典型情形

若

且

则函数在 左侧递减、右侧递增，因此

是局部极小值。

2.2 局部极大值的典型情形

若

且

则函数在 左侧递增、右侧递减，因此

是局部极大值。

3. 绘制曲线草图的步骤

1. 找出函数的不连续点，尤其是无穷不连续点和竖直渐近线；
2. 找临界点：通常包括 的点，也应注意 不存在但 有定义的点；
3. 若计算不太困难，标出临界点及相应函数值；判断各临界点之间 的符号；
4. 若容易求解，找出函数零点，即满足 的 ；
5. 确定定义域端点附近及 时的行为；
6. 必要时再利用 判断凹凸性和拐点。

4. 例 1：

4.1 不连续点

这是多项式，所以在所有实数上连续。

4.2 临界点

令 ：

所以

相应函数值为

临界点为

4.3 零点

所以

4.4 无穷远处的行为

最高次项 决定端点行为：

4.5 单调性

当

时 ，函数递增；当

时 ，函数递减。

因此：

• 在 上递减；
• 在 上递增；
• 在 上递减；
• 是局部极小点；
• 是局部极大点。

5. 例 2：

仅看导数，可能误以为函数在整条实数轴上连续递减。但函数在

处没有定义，并且

因此：

• 函数在 上递减；
• 函数在 上递减；
• 不能跨越不连续点 把两个区间合并成“在整个定义域上按通常区间意义递减”；
• 是竖直渐近线；
• 是水平渐近线。

这说明画图前必须先检查定义域和不连续点。

6. 例 3：水平切线不一定是极值

考虑

导数为

所以

只在

发生。

但是

在 两侧都成立，因此函数处处递增，导数在该临界点不变号。

所以 只是具有水平切线，并不是极大点或极小点。

实际上

它是平移后的三次函数。

7. 例 4：

函数

只对

定义。

7.1 当

令

当 时 ，并且

所以

7.2 临界点

利用商法则：

令 ：

临界值为

7.3 零点

等价于

所以

7.4 当

令

则

因此

7.5 单调性

因为 ， 的符号由 决定：

所以函数：

• 从 时的 开始递增；
• 在 穿过 轴；
• 在 达到最大值；
• 之后递减并趋近水平渐近线 。

8. 二阶导数与凹凸性

若

则 递增，图像斜率随 增加而增加，称图像凹向上或凸。

若

则 递减，图像斜率随 增加而减小，称图像凹向下。

9. 二阶导数判别法

设

• 若

则 是局部极大点；

• 若

则 是局部极小点；

• 若

则判别法没有结论，需要使用一阶导数变号或其他方法。

10. 拐点

拐点是图像凹凸性发生改变的点。

常常给出拐点候选，但仅有这一条件还不够；必须检查 是否在 两侧变号。

对于例 1：

令

得到

当 时 ，当 时 ，凹凸性确实改变，所以

是拐点。

11. 本讲要点

• 先检查定义域与不连续点，再研究导数；
• 的符号决定单调性；
• 临界点处导数为零并不保证存在极值；
• 的符号决定凹凸性；
• 二阶导数判别法可区分局部极大与极小；
• 只是拐点候选，凹凸性必须真正发生变化；
• 结合零点、临界点、渐近线和端点行为，可以画出定性正确的曲线草图。