第 11 讲：最大值与最小值问题
1. 最大值的位置与最大值本身
再次考察
上一讲已经得到：
唯一临界点满足
所以
函数在
但是必须区分：
- 最大值取得的位置是
- 最大值本身是
- 图像上的极大点是
2. 闭区间上的绝对极值
若连续函数定义在闭区间
上，则绝对最大值和绝对最小值一定存在。
寻找绝对极值时，应比较：
- 区间内部的所有临界点；
- 左端点
； - 右端点
。
还必须留意定义域内的不连续点，因为它们可能把区间分割，也可能使极值不存在。
3. 优化问题的一般步骤
- 画出示意图；
- 确定变量；
- 写出约束条件；
- 写出要最大化或最小化的目标函数；
- 利用约束消去变量，把目标函数化成一个变量的函数；
- 找临界点；
- 检查端点或无穷远处的行为；
- 回答原问题，包括最优值、取得位置及必要的单位。
4. 例 1：固定体积、表面积最小的无盖圆柱罐
求容积固定为
设：
- 圆柱半径为
； - 高为
； - 体积为
； - 表面积为
。
4.1 约束条件
圆柱体积为
无盖圆柱的表面积由一个底面和侧面组成：
4.2 消去
由体积约束：
代入表面积：
4.3 求临界点
令
4.4 检查边界行为
当
时，
所以
当
时，
所以
因此唯一临界点给出全局最小值。
4.5 最优高度
所以
最优无盖圆柱罐的高度等于半径。
4.6 最小表面积
代入最优半径：
5. 例 2：把铁丝截成两个正方形
一根长度为 1 的铁丝被截成两段，每段分别弯成一个正方形。怎样截取，才能使两个正方形的总面积最大？
设第一段长度为
第二段长度为
其中
5.1 建立面积函数
第一只正方形的边长为
面积为
第二只正方形的边长为
面积为
总面积：
5.2 求临界点
令
此时
5.3 检查端点
当
时：
当
时：
比较：
所以：
- 当两段等长，即
时，总面积最小； - 当
或 时，总面积最大； - 最大面积为
这意味着把整根铁丝用于一个正方形，另一段长度为零。
如果题目强制两段都必须为正长度，即
则最大值并不在开区间内取得，只有上确界
6. 为什么不能忘记端点
在铁丝问题中，唯一内部临界点给出的不是最佳最大值，而是最小值。
如果只检查临界点而忽略端点，就可能找到“最差答案”而非“最好答案”。
因此，对闭区间优化问题，必须比较：
7. 本讲要点
- 区分极值的数值、取得极值的自变量位置和图像上的极值点；
- 闭区间上的连续函数，其绝对极值出现在临界点或端点；
- 优化问题应先写约束，再把目标函数化为单变量函数；
- 还要检查不连续点、定义域边界及无穷远处的行为；
- 求出临界点并不代表已经完成问题，必须回到原问题解释结果。
