05-21-相关变化率

第 12 讲：相关变化率

1. 什么是相关变化率

当多个随时间变化的量由一个方程联系起来时，对该方程关于时间作隐式微分，就能建立它们变化率之间的关系。

一般步骤：

1. 画图；
2. 定义变量，区分常量与随时间变化的量；
3. 写出变量间的方程；
4. 对方程关于时间求导；
5. 最后才代入给定时刻的数值；
6. 根据符号和单位解释答案。

尤其不要在求导前把瞬时数值代入，因为这样会错误地把正在变化的量当成常数。

2. 例 1：路边雷达测速

警察位于公路边缘外 30 英尺处。汽车正在靠近，雷达测得警察与汽车之间的直线距离正以 80 英尺/秒的速率减小。当汽车距雷达枪 50 英尺时，汽车是否超过 65 英里/小时的限速？

讲义给出换算：

2.1 定义变量

设：

• 为汽车沿公路方向到离警察最近点的有向距离；
• 为雷达枪到汽车的直线距离；
• 警察到公路的垂直距离恒为 30 英尺。

当

时，由 直角三角形：

因为雷达距离正在减小，

2.2 建立方程并求导

勾股定理给出

对时间 求导：

所以

现在代入瞬时数值：

负号表示汽车沿所定义的负 方向运动；速率为

因为

所以汽车确实超速。

2.3 另一种较长的解法

先显式写成

求导：

代入

同样得到

也可以从

开始求导。不过，直接对最简单的关系式

作隐式微分通常最省力。

3. 例 2：注水的倒圆锥水箱

一个倒圆锥形水箱：

• 顶部半径为 4 英尺；
• 总高为 10 英尺；
• 以 立方英尺/分钟的速率注水。

问：当水深为 5 英尺时，水位上升多快？

设水面半径为 ，水深为 ，水体积为 。

3.1 体积公式

这里 都随时间变化，不能直接把 代入；4 是整个水箱顶部的半径，不是任意时刻水面的半径。

3.2 利用相似三角形

水形成的小圆锥与整个水箱相似：

所以

3.3 把体积写成 的函数

关于时间求导：

3.4 代入给定时刻

所以

因此

4. 卫星测量误差

讲义还提到一个卫星测量问题。设：

• 为卫星高度；
• 为斜距；
• 为固定水平距离。

几何关系：

关于时间求导：

所以

对小测量误差，可以用微分近似：

它衡量高度误差被放大或缩小为斜距误差的程度。

5. 抛物面镜与灵敏度

抛物面镜问题中，某个距离 与角度 相关。可能需要计算

或

这类量描述测量的灵敏度：一个变量的微小误差会在另一个变量上造成多大的误差。

相关变化率和误差传播广泛用于：

• GPS 定位；
• 光学仪器校准；
• 雷达测量；
• 工程公差；
• 小行星轨道预测。

6. 符号与单位

相关变化率答案应同时检查：

• 正负号：增加为正，减少为负；
• 单位：如英尺/秒、立方英尺/分钟；
• 几何意义：斜距变化率不一定等于沿道路速度；
• 瞬时条件：答案通常只对应题目指定的那一时刻。

7. 本讲要点

• 先建立变量之间的关系式，再关于时间求导；
• 所有变化量都应视为时间函数；
• 数值必须在求导后代入；
• 相似三角形常用于消去额外变量；
• 微分比值可近似描述小误差的传播；
• 最简单的隐式方程通常带来最简洁的计算。