05-22-牛顿法与其他应用

第 13 讲：牛顿法与其他应用

1. 牛顿法

牛顿法是数值求解方程

的有力工具。它用函数图像的切线交点不断改进根的近似值。

2. 例 1：求

考虑

方程

的正根为

现在用牛顿法求其数值近似。

2.1 第一次迭代

从初始猜测

开始。函数值为

在点

处的切线方程为

其中

让切线与 轴相交，即令 。交点横坐标记为 ：

所以

代入

得到

3. 牛顿迭代公式

反复进行上述操作：

其中 称为第 次迭代值。

4. 的具体迭代

对

有

因此

即

从 开始：

近似误差迅速下降：

迭代值	数值	误差量级
		—

在根附近且条件良好时，牛顿法通常具有二次收敛：每次迭代后，正确数字的位数大致翻倍。

5. 极限为什么是方程的根

假设迭代收敛：

对迭代式

两边取极限：

所以

从正初值 出发，极限为正，因此

注意：这个论证说明“如果迭代收敛，则极限必须是根”，但本身并不证明迭代一定收敛。

6. 牛顿法的风险

6.1 可能收敛到意外的根

若对

选取

则迭代趋于

而不是 。

6.2 可能完全不收敛

某些函数与初值会使迭代在几个点之间循环。例如可能出现

此后不断重复，不能收敛到单一值。

6.3 其他常见失败原因

• ，公式无法计算；
• 切线几乎水平，下一步跳得很远；
• 初值离目标根太远；
• 函数在迭代途中不连续或无定义；
• 多根附近收敛较慢。

因此实际使用时要监测

并设置最大迭代次数。

7. 绳上的圆环

一根长度固定为 的绳子，两端固定在

圆环套在绳子上，可以自由滑动到位置

求圆环的平衡位置。

7.1 物理原理

圆环最终停在最低位置，即重力势能最小的位置。因此目标是在绳长约束下最小化 。

7.2 约束条件

圆环到两端的距离之和等于固定绳长：

所有可能位置组成一条以

为焦点的椭圆。

8. 用隐式微分求平衡条件

把 视为 的隐函数。对约束方程关于 求导：

在最低点，切线水平，所以

于是

也就是

从几何图形看，两边分别为

因此

在图示的锐角范围内：

9. 物理与几何解释

• 圆环平衡时，绳子左右两段与竖直方向的夹角相等；
• 两段绳子的张力相同，其水平分量抵消，竖直分量共同平衡重力；
• 这也体现椭圆的反射性质：从一个焦点发出的光线经椭圆反射后通过另一个焦点，因为入射角等于反射角。

这个平衡条件比最终坐标公式更能揭示问题的物理本质。

10. 平衡位置的坐标

由角度相等：

相加并利用绳长约束：

所以

因此

考虑两个直角三角形的竖直边，并注意最低点通常有 ：

相加：

所以

再由相似三角形：

解得

代入 ：

因此平衡位置为

这里必须满足绳子足够长：

否则无法形成下垂的非退化椭圆。

11. 后续方法

本问题是一个带约束的极值问题。本课程通过隐式微分处理；在多变量微积分中，将学习用拉格朗日乘数法系统解决任意多个变量的约束极值问题。

12. 本讲要点

• 牛顿迭代：

• 其几何意义是用切线与 轴的交点产生下一次近似；
• 收敛时通常很快，但可能收敛到其他根、进入循环或失败；
• 约束极值可通过隐式关系和临界点条件求解；
• 绳上圆环的平衡条件是两侧绳段角度相等；
• 微积分结果常同时具有数值、几何和物理解释。