05-23-中值定理与不等式

第 14 讲：中值定理与不等式

1. 中值定理

中值定理是微积分的基础定理之一。

**定理：**若函数 ：

• 在闭区间 上连续；
• 在开区间 上可导；

则至少存在一个

使得

左侧是连接

的割线斜率；右侧是曲线在某个中间点 处的切线斜率。

因此，中值定理说明：至少有一条切线与端点割线平行。

2. 几何直观

可以想象从曲线下方取一条与割线平行的虚线，并将它向上平移，直到第一次接触曲线；或者从上方向下平移。

在光滑情形下，第一次接触点的切线与这条虚线平行，因此其斜率等于割线斜率。

这只是几何直观，严格证明通常使用罗尔定理。

2.1 可导条件为什么重要

考虑

若区间跨过原点，平移的平行线可能总是先接触尖点 。但是

不存在，因此不能得到中值定理所要求的切线。

这说明闭区间连续还不够，函数还必须在开区间内可导。

3. 中值定理的行程解释

假设从波士顿到芝加哥的距离为 1000 英里，恰好用 3 小时走完全程。

设

表示时刻 离波士顿的距离。则

平均速度为

由中值定理，存在某个

使

也就是说，旅途中至少有一个时刻的瞬时速度恰好等于全程平均速度。

4. 中值定理的等价形式

从

可得

也可写成

把 改名为 ：

其中某个 位于 与 之间。

定理只保证 存在，并不说明 的具体位置；它依赖于 。

5. 与线性近似的比较

线性近似为

中值定理则给出精确等式：

两者区别：

• 线性近似使用确定的斜率 ，但通常只是近似；
• 中值定理给出精确等式，但斜率 中的 未知。

6. 中值定理的重要推论

6.1 导数为正则函数递增

如果区间上

则 严格递增。

证明：任取 。由中值定理，存在 使

因为

所以

6.2 导数为负则函数递减

如果区间上

则对任意 $a

从而

所以 严格递减。

6.3 导数恒为零则函数为常数

如果区间上

则

任意两点函数值都相等，所以 是常数。

这些结论看似直观，但导数只描述无穷小尺度上的局部变化；中值定理严格地把局部导数信息连接到有限区间上的整体行为。

7. 用导数证明不等式

基本原则

可以用来证明许多不等式。

7.1

已知

定义

则

所以 严格递增。对 ：

因此

7.2

定义

则

所以对 ：

即

实际上，这个不等式对所有 都成立，并在 取等号；这也可由 的凸性证明。

7.3 继续改进下界

定义

重复使用导数递增性，可证明对 ：

继续下去：

最终将得到指数函数的泰勒级数：

课程后面的泰勒级数章节将系统讨论这一展开。

8. 本讲要点

• 中值定理把割线斜率与某个中间点的切线斜率联系起来：

• 使用它需要闭区间连续、开区间可导；
• 它严格证明了导数符号与单调性的关系；
• 导数恒为零的函数在连通区间上必为常数；
• 构造辅助函数并研究其导数，可以证明不等式；
• 中值定理给出精确但位置未知的斜率，线性近似给出位置确定但近似的斜率。