05-24-微分与原函数

第 15 讲：微分与原函数

1. 微分

若

定义微分：

和 都称为微分。

莱布尼茨记号

可以形式上看作微分之比。

2. 微分与线性近似

实际增量满足

而微分为

当

很小时，

等价地，

这就是线性近似：

3. 例 1：近似计算

3.1 方法一：标准线性近似

令

则

选择容易计算的基点

因为

线性近似：

取 ：

同理，

3.2 方法二：基本近似

使用

其中

得到

3.3 方法三：微分记号

在

处：

从 64 变到 65：

因此

所以

三种方法本质相同，核心都是切线近似。

4. 原函数与不定积分

如果

则称 是 的一个原函数。

记作

等价地：

因为常数的导数为零，所以不定积分必须包含任意常数 。

5. 基本不定积分

6. 为什么是

对 ：

对 ，有

于是

所以在任何不跨过 0 的区间上，

严格地说， 和 是两个不连通区间，因此两侧的积分常数可以彼此不同。

7. 原函数只差一个常数

若

则

由中值定理的推论，导数恒为零的函数在区间上是常数。因此

即

所以在同一连通区间上，任何两个原函数只相差一个加法常数。

8. 换元法

换元法是链式法则的逆运用。

如果

那么

9. 例 2：

令

则

因此

10. 例 3：

写成

观察到

所以

这也可以通过令 正式换元得到。

11. 例 4：

猜测原函数与 同形。由于

所以需要乘以 ：

12. 例 5：

因为

所以

13. 例 6：

令

则

也可以令

得到

两种答案并不矛盾，因为

它们只相差常数 ，该差异可吸收到任意积分常数中。

14. 例 7：

假设

且不跨过 。令

则

所以

源讲义写作 ，这在 时成立；使用绝对值可同时覆盖 的区间。

15. 本讲要点

• 微分给出函数增量的一阶近似：

• 原函数是求导的逆运算；
• 同一区间上的原函数只相差常数；
• 换元法是链式法则的逆用；
• 不定积分答案可通过求导验证；
• 外观不同的两个原函数可能只差一个常数。