05-25-微分方程与分离变量

第 16 讲：微分方程与分离变量

1. 常微分方程

含有一个自变量、未知函数及其导数的方程称为常微分方程，简称 ODE。

最简单的例子是

也就是

其解为

在本课程中，这类方程通过求原函数便视为已经解决。

2. 例 1：

考虑微分方程

算子

在量子力学中称为湮灭算子。

先解出导数：

2.1 分离变量

把所有含 的因子放到一边，含 的因子放到另一边：

这一步称为分离变量。

两边积分：

所以

指数化：

把符号和 合并为任意非零常数 ，并另外补上因除以 而可能遗漏的零解，得到统一解族：

虽然 ，但

仍给出原方程的合法解 。

2.2 初始条件

若

则

所以

若

则解就是

3. 分离变量的一般形式

若方程可写为

且暂时假设

则

令

两边积分：

若

则得到隐式解：

若 可逆，还可以显式写成

还必须单独检查满足

的常数解，因为分离变量时除以 可能把它们遗漏。

3.1 回看上一例

对

有

因此

4. 例 2：切线斜率是径向斜率的两倍

求满足下列几何条件的曲线：曲线上任意点 处的切线斜率，等于从原点到该点的射线斜率的两倍。

从原点到 的射线斜率为

所以微分方程为

4.1 分离变量

两边积分：

指数化：

把符号与常数合并，并补上零解：

解族包括

它们都是以原点为顶点、开口方向和宽度由 决定的抛物线。

5. 例 3：抛物线族的正交轨线

求与上一节所有抛物线

正交相交的曲线族。

抛物线的斜率满足

两条曲线正交相交时，斜率互为负倒数。因此正交轨线满足

5.1 分离变量并积分

积分：

整理：

这是一个椭圆族。

若 ，可写为

横半轴为

纵半轴为

两者之比为

5.2 显式形式

虽然分离变量自然产生隐式解，也可解出 ：

同一椭圆的上、下半部分分别对应正、负号。

6. 第二次考试复习范围

第二次考试将涵盖：

1. 线性和／或二次近似；
2. 的曲线草图；
3. 最大值与最小值问题；
4. 相关变化率；
5. 原函数与分离变量；
6. 中值定理。

讲义提醒：第二次考试将比第一次考试更难，详细内容见专门的考试复习资料。

7. 本讲要点

• 可分离方程：

可改写为

• 积分后通常先得到隐式解；
• 除以 前后要检查是否遗漏常数解；
• 初始条件用于确定积分常数；
• 几何斜率条件可以转化为微分方程；
• 正交轨线的斜率互为负倒数。