05-26-定积分

第 18 讲：定积分

1. 积分的用途

积分可用于计算：

• 累积总量；
• 平均值；
• 面积；
• 由随时间变化的速率产生的总变化。

2. 曲线下面积

计算曲线下面积的基本思想：

1. 把区域分成许多窄条；
2. 用矩形近似每一窄条的面积；
3. 把矩形面积相加；
4. 让矩形宽度趋于 0。

3. 例 1： 在 上的面积

把区间

等分成 个小区间，每段宽度为

使用每个小区间的右端点：

第 个矩形的高度为

面积和为

4. 用阶梯金字塔估计平方和

讲义利用一个三维阶梯金字塔估计

各层面积依次为

所以阶梯体积就是

通过把阶梯体与内、外金字塔比较，可得

在极限所需的主导阶意义下夹住该和。

两边除以 ：

令 ，由夹逼定理：

因此

所以 在 上的面积是

更精确的有限和公式为

也给出同一极限。

5. 例 2： 在 上的面积

同样使用右端点矩形：

因为

所以

这也正是底、高均为 的三角形面积：

6. 面积函数与导数的联系

前两个例子呈现出规律：

若

表示从固定起点到 的曲线下面积，似乎应有

这正是微积分基本定理的核心思想，后续讲义将正式证明。

7. 黎曼和

把

等分成 段，每段长度

在第 个小区间中任取一点

以

为矩形高度，则矩形面积和为

这称为黎曼和。

8. 定积分的定义

如果当分割越来越细时，黎曼和趋于同一个极限，且该极限不依赖于各取样点 的选择，则定义

当

时，该定积分表示曲线 与 轴在 上围成的面积。

当函数取负值时，定积分表示带符号面积：

• 轴上方计正；
• 轴下方计负。

9. 例 3：一年内的累计借款

积分不只表示几何面积，也能累计随时间变化的数量。

设：

• 是以年计的时间；
• 是借款速率，单位为美元/年；
• 年，即一个月。

若

则第 个月借入的金额约为

一年总借款约为

当时间间隔趋于 0：

因为

积分结果的单位是美元。

例如，若每月固定借款 1000 美元，则

所以

10. 加入简单利息

设年利率为 。在时刻 借入的一小笔金额

到年末还会经历

年的计息期。

按简单利息计算，年末应还：

把所有借款相加并取极限，得到年末总欠款：

这说明积分能够把每个时刻产生、并按不同权重累积到终点的金额汇总起来。

11. 本讲要点

• 定积分是黎曼和的极限；
• 是小区间宽度， 是取样高度；
• 非负函数的定积分表示曲线下面积；
• 一般定积分表示带符号面积；
• 积分可累计任何“速率 小区间”形式的数量；
• 面积函数的导数等于终点处的函数值，这将引出微积分基本定理。