05-27-微积分第一基本定理

第 19 讲：微积分第一基本定理

1. 微积分基本定理

若 连续，且

则

这把定积分的黎曼和极限与原函数联系起来，使积分可以通过求原函数计算。

2. 上下限代入记号

常写成

或

其含义是

必须先代入上限，再减去代入下限的结果。

3. 例 1：

因为

满足

所以

这与上一讲从黎曼和直接得到的结果一致。

4. 例 2：正弦函数一个波峰下的面积

在区间

上，。因此积分等于普通几何面积：

5. 例 3：

6. 运动学解释

设

是位置，

是速度。

由基本定理：

右侧是净位移，即终点位置减去起点位置。

左侧可以看成许多小时间段位移的和：

当 很小时，

近似第 个时间段内的位移。

6.1 位移与路程

如果 改变符号，正负位移会在积分中互相抵消。因此

给出净位移，而不是里程表记录的总路程。

总路程应计算

7. 例 4：完整周期上的正弦积分

在

上，曲线位于 轴上方，贡献正面积；在

上，曲线位于 轴下方，贡献负面积。两部分大小相等、符号相反，所以相消。

8. 定积分的区间可加性

若积分存在，则

9. 反向积分

定义

另外，

这些定义保证：

• 基本定理无论 还是 都成立；
• 区间可加性对 的任意次序都成立。

10. 积分的不等式

若

在 上成立，且

则

注意区间方向很重要；交换上下限会使不等号方向相应反转。

11. 例 5：估计

对 ，

在 上积分：

左侧为

右侧为

所以

12. 例 6：更好的 下界

已证明对 ：

两边从 0 到 1 积分：

左侧：

右侧：

所以

使用更高阶的多项式下界，可以继续改善这一估计。

13. 定积分的换元法

若

则不定积分换元为

对定积分，必须同时变换上下限：

一旦上下限已经换成 的数值，计算结束前无需再换回 。

14. 例 7：定积分换元

计算

令

则

变换上下限：

所以

15. 本讲要点

• 微积分基本定理：

• 定积分表示带符号的累积量；
• 速度积分给出净位移，速率积分给出总路程；
• 积分具有区间可加性；
• 交换上下限会改变符号；
• 保序性可用于证明数值不等式；
• 定积分换元时必须同步变换上下限。