05-28-微积分第二基本定理

第 20 讲：微积分第二基本定理

1. 回顾第一基本定理

若 连续，且

则

这说明已知原函数时如何计算定积分。

2. 每个连续函数都有原函数吗

答案是肯定的。

但是，有些连续函数的原函数无法用此前学过的初等函数表示。例如：

它的原函数存在，但不是多项式、指数、对数、三角函数及其有限组合所能表达的初等函数。

可以用定积分定义一个新函数：

这个函数满足

类似地，下列函数的原函数也会产生新的特殊函数或非初等表达式：

其中 本身实际上可以初等积分，但这些表达式整体说明：积分自然会引出新的函数。

3. 微积分第二基本定理

**定理：**若 连续，并定义

则

换言之：

积分与求导在这里互为逆运算。

4. 几何证明

表示从 到 的带符号面积。

当上限从 增加到 时：

当 很小时，这一窄条面积近似为矩形面积：

所以

令 ：

而左侧正是 ，因此

5. 用平均值理解证明

右侧是 在小区间

上的平均值。

因为 连续，当区间长度 时，该平均值趋于

所以

6. 用第二基本定理证明第一基本定理

假设

且 连续。定义

由第二基本定理：

因此

由中值定理的推论，

所以

又因为

所以

从而

即得到第一基本定理：

7. 原函数中的常数会相消

以

为例：

任何

都是 的原函数。

例如取 ：

于是

加法常数在上下限相减时自动抵消。

8. 误差函数

概率与统计中常用的误差函数定义为

由第二基本定理：

并且

9. 对数积分与素数计数

对数积分定义为

它可以近似小于 的素数个数。

例如，200 位正整数位于

一带；源讲义用相邻的巨大十进制区间说明同样的数量级思想，并估计

在该区间中：

用一位有效数字近似：

所以

按一位有效数字可写为约

这说明如此巨大区间内有极多素数。现代密码学会利用大素数，但实际安全性还取决于算法、密钥长度和计算复杂度，不能仅凭素数数量判断。

10. 菲涅耳积分

光学中会出现菲涅耳函数：

由第二基本定理：

虽然 和 的原函数无法用初等函数表达，但以定积分定义后，求导非常直接。

11. 贝塞尔函数

具有圆对称的问题中常出现贝塞尔函数。例如零阶第一类贝塞尔函数可表示为

等价地也可写成在完整周期上的 加权积分。

贝塞尔函数广泛出现于：

• 圆形鼓膜振动；
• 圆柱中的热传导；
• 波动和衍射；
• 具有圆柱对称性的偏微分方程。

12. 常数函数的积分

基本事实：

几何上，这是底为 、高为 的矩形面积。

对数积分估算中正是用

把被积函数近似成常数。

13. 下一讲预告

讲义将利用第二基本定理，从第一性原理研究

因为

这个函数最终会被识别为

14. 本讲要点

• 第二基本定理：

• 它证明每个连续函数都有原函数；
• 定积分可以定义无法用初等公式表示的新函数；
• 第一、第二基本定理共同说明求导与积分互为逆运算；
• 误差函数、对数积分、菲涅耳函数和贝塞尔函数都可由积分定义；
• 对积分定义的函数求导时，第二基本定理往往立即给出答案。