05-29-对数与几何应用

第 21 讲：对数与几何应用

1. 用积分直接定义自然对数

幂函数积分公式

在

时失效，因为分母变为零。

因此 的原函数不是幂函数。定义

这个函数将被证明就是自然对数。

相比先研究 、定义 、再把对数定义为 的反函数，这种积分定义更加直接。

2. 的基本性质

2.1 定义域

因为被积函数 在 处无穷大，本讲只定义

2.2 导数

由微积分第二基本定理：

所以 ， 在 上严格递增。

2.3 在 处的值

因此：

2.4 凹凸性

所以 在整个定义域上凹向下。

3. 乘法化为加法

自然对数的关键性质是

3.1 证明

由区间可加性：

在第二个积分中令

则

上下限变为：

因此

所以

4. 无穷远处的行为

4.1 当

只需考察

由乘法性质：

因为

所以

又因 递增，夹在相邻二次幂之间的其他 也具有相同行为：

4.2 当

由

得

当 时，

所以

5. 从 构造对数与指数

现在可直接定义

再定义 为满足

的唯一正数。

因为 连续、严格递增且值域是整个实数轴，所以它有反函数。把该反函数定义为

最后可定义任意正底数的指数：

6. 两条曲线之间的面积

若在

上有

则两条曲线之间的面积为

即每个竖直小条的高度是

7. 例 1： 与 围成的面积

两条曲线为

和

后者也可写成

7.1 求交点

令

则

所以

相应地：

交点为

8. 较难方法：竖直切片

若用竖直切片，区域的下边界在 前后发生变化。

当

上边界：

下边界：

当

上边界：

下边界：

所以面积为

9. 较易方法：水平切片

对

左边界是抛物线：

右边界是直线：

水平小条长度为

因此

水平切片只需一个积分，所以明显更简单。

10. 旋转体体积：圆盘法

把曲线

与 轴之间的区域绕 轴旋转一周。

宽度为 的竖直小条旋转后近似形成一个薄圆盘：

• 半径为 ；
• 横截面积为

• 厚度为 。

因此小体积为

总容量为

11. 例 2：球的体积

半径为 的圆满足

上半圆为

把上半圆与 轴之间的区域绕 轴旋转，得到半径为 的球。

由圆盘法：

12. 利用对称性

被积函数

是偶函数，所以

因此也可计算：

对称性可以简化上下限和代数计算。

13. 本讲要点

• 自然对数可直接定义为

• 换元法从积分定义证明

• 两曲线间面积可用竖直或水平切片，选择不需分段的方向通常更好；
• 圆盘法体积公式：

• 利用对称性可显著简化积分；
• 球体积公式可由圆盘积分推导：